基于模糊隸屬度的電力系統抗差估計

陳妤，陳勝，郭曉敏，劉曉宏，黃文進（.河海大學能源與電氣學院，江蘇南京00；.鹽城供電公司，江蘇鹽城400）

基于模糊隸屬度的電力系統抗差估計

陳妤1，陳勝1，郭曉敏2，劉曉宏2，黃文進2
（1.河海大學能源與電氣學院，江蘇南京211100；2.鹽城供電公司，江蘇鹽城224002）

提出了一種電力系統模糊自適應抗差估計（fuzzy adaptive robust estimation，FARE）方法。計及了量測權重的不確定性，以連續的模糊隸屬度評價測點的優劣，很好地解決了測點非優即劣的問題，以最小化測點劣質性的加權模糊隸屬度之和為優化目標，采用原對偶內點法（Primal-Dual Interior Point Method，PDIPM）求解，并且實現了對量測粗差的自適應。多個IEEE標準算例以及波蘭系統的仿真測試結果表明，該方法具有良好的抗差性能。

權重不確定性；模糊隸屬度；抗差估計；原對偶內點法

作為能量管理系統（energy management system，EMS）的基石，電力系統狀態估計根據遙測的生數據，估計出電力系統的實時運行狀態[1-2]。傳統的加權最小二乘[3-4]（weight least squares，WLS）的估計精度易受不良數據的影響[5]，一種實用的處理方法是在狀態估計之前添加不良數據檢測辨識程序[3]，最大正則化殘差檢測是最常用的不良數據檢測辨識方法，但這種處理方法不足之處在于涉及了大量矩陣求逆計算，即便采用高效的稀疏技術，其計算復雜度也隨著量測規模等比例增長。

相比而言，抗差估計器以一定的估計準則，在估計過程中實現了對不良數據的自適應，無需額外的不良數據檢測辨識程序，因而引起了國內外大量學者的研究。抗差估計器包括加權最小絕對值[6-7]（weighted least absolute values，WLAV）、非二次準則[8]、指數目標型[9-10]、最大合格率[11]等。但現有抗差估計、不良數據監測辨識理論粗糙地將量測量分為2類：優質量測和劣質量測，這種對量測量非優即劣的區分顯然是不夠合理的[12]。

本文提出一種電力系統模糊自適應抗差估計（fuzzy adaptive robust estimation，FARE）方法，首先以連續的模糊隸屬度函數評價測點的相對優劣性，避免了測點非優即劣的問題；其次考慮到隨著設備的老化、運行環境的時刻變化，儀表的量測精度難以持續保持穩定，對量測儀表進行重新校核必須付出很大的經濟代價，因而很難系統地重新校核量測儀表，也就是說，量測方差是隨時間變化的，難以精確估計，即量測權重存在不確定性。本文基于測點模糊隸屬度在線修正量測標準差，實現了對量測粗差的自適應，以最小化測點劣質性的加權模糊隸屬度之和為優化目標，采用原對偶內點法[6，13]（primaldual interior point method，PDIPM）求解。多個IEEE標準算例以及波蘭系統的仿真測試結果，驗證了本文方法的有效性。

1　電力系統模糊自適應抗差估計

1.1測點優質性的模糊隸屬度

電力系統狀態估計量測方程為

式中：x為狀態向量；設系統節點數為n，則x包含節點電壓的幅值和相角，其維數為2n-1；z為m維量測向量；h（x）為量測函數向量；e為量測誤差向量，且假設量測誤差服從正態分布。

狀態估計的殘差方程為

式中：r為m維殘差向量；x*為狀態量x的估計值。

則對于第i個測點，若其估計殘差ri很小，則可認為該測點為優質測點；反之，若其估計殘差ri很大，則可認為該測點為劣質測點。由于各個測點的量測精度不同，定義σi為測點i的量測標準差，因而以測點的加權殘差的σi/ri大小區分優劣測點更為合理。

定義事件y為測點的優劣，若集合Y包含了所有事件y，那么元素y與集合Y的關系可用一個特征函數——隸屬度函數v（y）表示，對于經典的數據集合理論，有：

但實際測點的優劣只是相對的概念，即不存在絕對的優與劣，相比于經典的數據集合理論，模糊集合允許隸屬度取[0，1]上的任何值，本文選取連續可微的鐘形隸屬度函數，對于第i個測點，其劣質性的模糊隸屬度函數為

式中：a、b為大于0的模糊隸屬度特征參數。

采用鐘形模糊隸屬度函數后，測點的相對優劣隸屬度問題很好地被歸一化到區間[0，1]上，很好地解決了測點非優即劣問題。

1.2基于測點優質性模糊隸屬度的狀態估計模型

以加權最小二乘（weighted least squares，WLS）為主的電力系統狀態估計算法以最小加權殘差平方和為優化目標，類似地，本文基于測點優質性的模糊隸屬度，以最小化測點劣質性的加權模糊隸屬度之和為優化目標，提出如式（5）所示的優化模型：

1.3量測權重的不確定性

目前，國內外絕大多數狀態估計算法均是假設量測方差σ2已知，而在實際工程中，大規模電力系統中存在眾多量測儀表，對量測儀表進行重新校核必須付出很大的經濟代價，因而很難系統地重新校核量測儀表；此外，隨著設備的老化、運行環境的時刻變化，儀表的量測精度難以持續保持穩定[14]。也就是說，量測方差是隨時間變化的，難以精確估計，即量測權重存在不確定性。文獻[15]中基于WLS以連續多個斷面的量測殘差離線估計量測權重，但在當網絡拓撲改變以及固定時間窗口下，需在線更新權重，且需要專門的不良數據檢測辨識程序事先剔除不良數據，大大增加了狀態估計算法的計算時間。而國內實際系統的狀態估計一般主觀設置各量測的權重因子，調試及維護復雜，且主觀設定的權重因子未必與實際量測方差吻合。

為此，本文基于測點模糊隸屬度修正量測標準差，即對于求解式（5）過程中的第k+1次迭代，令：

量測標準差修正函數f（v）應遵循2個準則：

1）當測點模糊隸屬度vi接近1時，此時該測點為優質測點，應保持近似不變。

2）當測點模糊隸屬度vi接近0時，此時該測點為劣質測點，應增大σi，即出現量測粗差時，應降低該測點在迭代中的權重，減小其對狀態估計結果的影響。

基于1）、2）準則，可選取修正函數f（v）=1－（1/v）1/b。

本文所述算法在考慮測點優質性模糊隸屬度的基礎上，實現了對量測粗差的自適應，故將該算法稱為模糊自適應抗差估計（fuzzy adaptive robust estimation，FARE）。

2　基于原對偶內點法FARE模型求解

由于直接求解目標函數的不可微性，難以直接求解式（5），參照文獻[3-4]中對的處理方法，引入m維非負松弛因子l、u，則式（5）可等價為

式（7）屬于最優潮流問題，現代內點法[3-4]具有收斂性好，計算速度快，受初值影響小，適于求解大規模問題等優點，因而選用原-對偶內點法求解式（7）。

引入m維非負松弛因子l、u，則優化目標可等價為

將式（8）中的等式約束設為障礙函數，可得拉格朗日函數：

式中：λ、α、β為m維拉格朗日乘子，即對偶變量；l，u為原變量。

求解其KKT條件可得：

KKT條件為非線性方程組，可用牛頓-拉弗森法求解，將其線性化后得到修正方程組：

式（16）—式（21）可寫成矩陣形式：

計算對偶間隙Gap=αTl+βTu及擾動因子μ=δGap/ 2m。此外，為了保證松弛因子恒為非負，依據式（23）—式（26）原、對偶變量的迭代步長（θr，θD）:

修正原、對偶變量：

修正量測標準差：σ（k+1）=σ（k）（1/v）1/b。

重復式（22）—式（26）修正過程，直至對偶間隙Gap達收斂精度或迭代次數超過設定的最大迭代次數。

3　算例分析

本文的測試算例包括IEEE14、30、57、118節點，波蘭2383、2746節點（以WP-2383，WP-2746表示），量測數據由嚴格潮流結果添加隨機量測誤差得到，考慮量測標準差的不確定性，電壓量測標準差服從[0.002，0.005]的均勻分布，功率量測標準差服從[0.004，0.010]的均勻分布。量測冗余度[2]介于3.5～ 4.5之間。并且隨機添加10%的不良數據，不良數據在量測數據的基礎上加減[5，20]倍的最大量測標準差。

為驗證本文提出的FARE算法的優越性，將FARE與以往提出的狀態估計算法，包括WLS、WLAV[6]、QL[3]進行抗差性能比較。WLS、WLAV、QC算法的電壓量測權重取4，有功、無功量測權重取1。對于FARE算法的量測標準差初值σ（0），由于式（6）的修正是使σ在迭代中逐步增大，故σ（0）的選擇應小于實際可能的量測標準差，本文電壓量測σ（0）取0.001，有功、無功量測σ（0）取0.002；模糊隸屬度參數取a= 2.5，b=3。

3.1不良數據辨識性能及殘差污染測試

3.1.1殘差污染及殘差淹沒

在單個不良數據的情況下，基于WLS的不良數據檢測與辨識程序可能檢測出不止一個可疑數據，即除了不良數據點的殘差超過門檻值外，一些正常測點的殘差也超過門檻值，即“殘差污染”現象；而在多個不良數據下，殘差污染將更為嚴重，甚至出現“殘差淹沒”現象，即不良數據點不能呈現任何殘差特征。同時，當杠桿量測點的量測為不良數據時，更易出現殘差污染及淹沒現象，對狀態估計的影響更大。

3.1.2杠桿量測的定義及辨識

對于WLS算法，其估計殘差r與量測誤差e關系為

式中：S為殘差靈敏度矩陣；W為權重矩陣；H為量測雅克比矩陣。

如果對于第i個測點，其殘差靈敏度矩陣對角元素Sii很小，則測點i的殘差不能真實反映量測誤差，即該測點是杠桿量測點。此外，杠桿量測的存在與量測的冗余度k軈相關，且當Sii<1－2時，可認為測點i是杠桿量測點。

在量測配置、網絡拓撲相對固定的情況下，量測雅克比矩陣H受運行狀態影響較小，因而杠桿點主要取決于系統本身的性質，可根據WLS算法離線辨識杠桿量測點。

3.1.3算例測試

假設由WLS離線辨識的杠桿量測點為集合N，非杠桿量測點為集合M，某個測點為不良數據記為事件l。為更好地測試杠桿量測點出現量測粗差下，各種狀態估計算法的性能，不良數據測點按式（29）原則隨機選取：

事件a：不良數據點為杠桿量測點；事件b：不良數據點為非杠桿量測點。則式（29）使得事件a發生的概率為事件b發生概率的3倍。

為比較各種算法的不良數據辨識以及抵御殘差污染淹沒的性能，在量測真值、量測標準差真值已知的情況下，定義：

以IEEE14、IEEE118為測試算例，依照式（29）的準則隨機添加不良數據，4種狀態估計算法下τ的百分比分布如圖1、圖2所示。

圖1　IEEE14節點不同狀態估計算法下τ百分比分布Fig.1　The percentage distribution of τ by different methods for IEEE14-node system

由圖1與圖2可知，WLS算法估計下的τ>3的百分比在20%以上，而量測不良數據比例僅為10%，這說明出現了很嚴重的殘差污染淹沒現象，因而基于WLS的QC算法也很難有效辨識不良數據及抵御殘差污染淹沒。相比于WLAV、QC、WLS算法，FARE算法估計下τ的分布主要集中于0～2之間，且τ>5的比例明顯少于其余3種算法，因而FARE算法下的量測估計值更接近于量測真值，有著很好的不良數據辨識及抵御殘差污染淹沒性能。

圖2　IEEE118節點不同狀態估計算法下τ百分比分布Fig.2　The percentage distribution of τ by different methods for IEEE118-node system

3.2抗差性能與收斂性能測試

采用以下3個指標來評價不同狀態估計算法對狀態量的估計性能。

1）電壓幅值的均方誤差：

式中：Vi為節點電壓幅值的真值，V為節點電壓幅值的估計值。

2）電壓相角的均方誤差：

3）量測量估計準確度。實際運行中，除了對系統狀態量的估計，用戶更關心對量測量的估計效果，因此定義式（33）指標來評價不同狀態估計算法對量測量的估計性能（實際系統以合格率評判量測量的估計性能）：

在6個測試算例均含10%不良數據的情況下，4種狀態估計算法的評價指標如表1和表2所示。

在各測試系統含10%不良數據時，從表1、表2的測試結果可以看出：

1）狀態量的估計性能方面，比較表1中MSE1和MSE2的大小，可知各算法對狀態量的估計性能為FARE>WLAV>QC>WLS，且FARE明顯優于其余3種算法。此外，FARE算法對電壓相角的估計性能要好于對電壓幅值的估計性能。

2）量測量的估計性能方面，比較表2中MSE3的大小，FARE對量測量的估計性能稍好于WLAV，QC次之，WLS最差。

3）收斂性能方面，WLS、QC以牛頓法求解，QC在WLS的基礎上包含了不良數據檢測辨識的功能；WLAV和FARE均以內點法求解。從表2中的迭代次數可看出，WLS收斂性能最優，其余3種算法收斂性能相近，且FARE的收斂性能要稍好于WLAV。

表1　含10%不良數據下不同估計算法的MSE1及MSE2指標性能Tab.1The performance of MSE1and MSE2by different algorithms with ten percentage of bad data

綜合1）—3）的比較，WLS雖有最佳的收斂性能，但抗差性能薄弱；其余3種算法收斂性能相近，但FARE的抗差性能明顯優于WLAV、QC，因而在本文選取的狀態估計算法中，FARE是最優質的電力系統狀態估計算法。

表2　含10%不良數據下不同估計算法的MSE3指標性能及迭代次數Tab.2The performance of MSE3and times of iteration by different algorithms with ten percentage of bad data

4　結論

本文提出的算法以模糊隸屬度定量評價測點的相對優劣性，避免了測點非優即劣的問題，且基于測點的模糊隸屬度自動更新量測權重，實現了對量測粗差的自適應，有著良好的抗差性能。本文所提方法的特點：

1）無需進行不良數據校驗，無需主觀設定權重，易于調試與維護。

2）在迭代的過程中依據模糊隸屬度自動辨識不良數據，實現對量測粗差的自適應，其狀態估計結果主要受優質量測影響。

3）如果在連續多個斷面下，某個測點的量測權重均遠小于其余測點，則該測點的量測儀表很可能損壞或數據傳輸通道出現故障，因而該方法易于查找出量測中的故障。

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（編輯董小兵）

Power System Robust Estimation Based on Fuzzy Membership

CHEN Yu1，CHEN Sheng1，GUO Xiaomin2，LIU Xiaohong2，HUANG Wenjin2
（1.College of Energy and Electrical Engineering，Hohai University，Nanjing 211100，Jiangsu，China；2.Yancheng Power Supply Company，Yancheng 224002，Jiangsu，China）

This paper proposes a Fuzzy Adaptive Robust Estimation（FARE）method.The method judges the quality of measurements based on the continuous fuzzy membership function considering the uncertainty of the measurements’weights to avoid the judgment that regards a measurement as either god or bad，and the optimal objective lies in the minimal sum of weighted fuzzy membership，which is solved by the Primal-Dual Interior Point Method（PDIPM，and the self-adaption to the gross errors is realized too.Simulated results on several IEEE standard systems and a polish system indicate that the method proposed in this paper has a robust performance against gross errors.

uncertainty of the measurements’weights；fuzzy membership；robust estimation；PDIPM

1674-3814（2015）07-0013-07中圖分類號：TM711

A

國家自然科學基金資助項目（51277052）；國家電網公司科技項目“基于EMS的電網參數辨識及抗差狀態估計研究”。

Project Supported by National Natural Science Foundation of China（51277052）；State Grid Corporation of China.

2015-03-17。

陳妤（1993—），女，本科，從事電力系統分析與控制方面的研究；

陳勝（1990—），男，碩士研究生，從事電力系統狀態估計，優化潮流方面的研究。