等差數列設項技巧

馬繼鈞

涉及等差數列的問題，很多的解決方法與設項的情況有關，設得巧解決起來就快速簡便，設得不恰當，運算煩瑣，還容易出現錯誤.下面就常見等差數列設的技巧進行剖析，希望對大家有所

幫助.

一、前后對稱項問題利用性質求解

例1.（2014·陜西模擬）已知一等差數列的前四項的和為124，后四項的和為156，又各項和為210，則此等差數列共有（ ）

A.8項 B.7項 C.6項 D.5項

分析：由題意等差數列的前四項的和為124，后四項的和為156，a1+a2+a3+a4=124，并且an+an-1+an-2+an-3=156，所以根據等差數列的性質可得a1+an=70，再結合等差數列的前n項和的公式進行

求解.

解析：由題意可得，a1+a2+a3+a4=124，…①

并且an+an-1+an-2+an-3=156，…②

由等差數列的性質可知，①+②可得：4（a1+an）=280，

所以a1+an=70.

由等差數列的前n項和公式可得：Sn==35n=210.

所以解得n=6.故選C.

點評：本題主要考查了等差數列的性質，等差數列的前n項和公式的簡單運用，屬于對基礎知識的簡單綜合.這類問題關鍵是設出各項，利用等差數列的性質結合等差數列的求和公式即可

解決.

二、利用通項與和的關系公式求解

例2.（2014·江蘇一模）已知數列{an}的首項a1=a，其前n項和為Sn，且滿足Sn+Sn-1=3n2（n≥2）.若對任意的n∈N*，an

分析：本題已知條件滿足相鄰項的和，想到an和Sn的關系式，所以關鍵是根據條件求出an的有關的關系式，利用條件an

解析：由條件Sn+Sn-1=3n2（n≥2）得Sn+1+Sn=3（n+1）2（n≥2），

兩式相減得an+1+an=6n+3，

故an+2+an+1=6n+9，兩式再相減得an+2-an=6，

由n=2得a1+a2+a1=12，a2=12-2a，

從而a2n=6n+6-2a；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=27，a3=3+2a，從而a2n+1=6n-3+2a，

由條件得a<12-2a6n+6-2a<6n-3+2a6n-3+2a<6（n+1）+6-2a，

點評：本題主要考查參數取值范圍的求解，根據條件求出與an的有關的關系式是解決本題的關鍵，有一定的難度.

三、轉化為基本量求解

例3.（2014·太原一模）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a4+a7+a10=9，S14-S3=77，則使Sn取得最小值時n的值為（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

分析：等差數列{an}中，利用基本量法，求出首項與公差，得到Sn的公式，利用配方法能夠求出Sn取得最小值時n的值.

解析：等差數列{an}中，

∵a4+a7+a10=9，S14-S3=77，

∴當n=5時，Sn取得最小值.故選B.

點評：本題考查等差數列的通項公式和前n項和公式的靈活運用，是基礎題.解題時要認真審題，仔細解答.

四、連續三項設中間項

例4.三個數成等差數列，它們的和等于18，它們的平方和等于116，則這三個數為 .

分析：由三個數成等差數列，設為a-d，a，a+d，從而求解.

解析：依題意設這個數列為a-d、a，a+d.于是可得a-d+a+a+d=18，且（a-d）2+a2+（a+d）2=116.

解得a=6，d=2或a=6，d=-2，所以這三個數為4，6，8.故答案為：4，6，8.

點評：本題考查成等差數列的數的設法，本題的設法大大減少了運算量.

編輯 韓 曉