數形結合在解題中的應用

陳賢兵

摘 要：就數形結合思想在解題中的應用問題，從“以形助數”“以數輔形”“化數為形”“以形論數”四個方面進行了研究。

關鍵詞：數形結合；函數圖象；向量；復數；圓

著名數學家華羅庚常把數學引入詩，闡述哲理。他曾經這樣寫道：數形本是相倚依，怎能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬歲休。幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。此詩把數學的具體形象——數形結合的思維方式作為載體，用節奏鮮明、生動有趣的語言，把學習數學的方法進行了辨證的闡述，體現了數形結合思想方法的重要性。以下我通過分析解決問題來體現數形結合思想的重要性。

一、以形助數

利用函數圖象探討方程的根及其分布。

例1.求方程lgx-sin x=0的解的個數。

分析：此方程解的個數即y=lgx的圖象與函數y=sinx的圖象的交點的個數。

解：∵sin x≤1 lgx≤1

∴0

這題是2005年湖北的一道高考題。這題若用正弦定理或余弦定理較為復雜。利用坐標向量，使得運算更為簡單。但要確保兩個函數圖象都易作。在中學數學中，學生的常規思路是將利用平方法將無理不等式轉化為有理不等式求解，以解脫根式的糾纏與困擾。但與此同時，需嚴格注意不等式兩邊的等號，往往運算煩瑣冗長。若我們細心觀察，抓住題目特征，因題定法，選擇合理的途徑，則可避開討論，優化解題過程，提高解題效率。

三、化數為形，以形論數

有時在解題中，就數論數，往往會受阻，這時我們可應用逆向思維，先把“數”對應的“形”畫出，再結合“形”去思考“數”，就會加大透明度，找到簡捷準確的解題方法。

例3.已知復數Z的模為2，求Z-i的最大值。

分析：若用代數形式思考

如果用數形結合的方法來思考這道題，由Z=2知，Z表示以原點為圓心，以2為半徑的圓。Z-i表示圓上到點（0，1）的距離。由圖2可知其最大值，顯然是過點的最遠端（0，2）到該點的距離3。

由上面的解題過程可知，數形結合是學好數學的一把鑰匙。它利用直觀的圖形來解題，巧妙地簡化了大量繁瑣的計算和邏輯推理過程，解題簡潔明了。

在中學數學教學中，我們應經常引導學生根據圖形的直觀性研究數與式之間的關系。通過運用數形結合的思想來培養學生的解決問題的能力。

參考文獻：

[1]黃翔.數學方法論選論[M].重慶大學出版社，1995-04.

[2]周建凱.數形結合思想在解題中的應用[J].中學數學研究，2009（04）.

[3]王方漢.試論數學詩與現代數學詩[J].中學數學研究，2007（07）.

編輯 韓 曉