不等式存在性與任意性問題串教學探討

羅曉雪

摘 要：對于不等式存在性與任意性問題來說，基礎不好的學生學起來比較困難。通過問題串的教學方式，讓學生學好這方面知識。

關鍵詞：不等式；存在性；恒成立；問題串

不等式存在性與任意性問題是高中數學的重點，也是難點。筆者認為通過設置一系列類似的問題將難題化為簡單問題串題的教學方式能提高學生的學習效率。

給出問題：已知函數f（x）=x2-ax，g（x）=lnx，若？坌x1，x2∈[1，3]都有f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍。

先設置一些簡單問題如：

問題1：若不等式x2+ax+1≥0對任意的x∈R+恒成立，求a的取值范圍。

問題4：已知函數f（x）=x2+ax+1，g（x）=xlnx+1，若？坌x∈[2，3]都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍。

解析∵函數f（x），g（x）的定義域都為{x|x>0}

∴x2+ax+1≥xlnx+1 ∴ax≥-x2+xlnx（x∈R+）即a≥-x+lnx

要使？坌x∈[2，3]都有f（x）≥g（x）恒成立，只需a≥h（x）max

∴h（x）max=h（2）=-2+ln2 ∴a≥-2+ln2

問題5：已知函數f（x）=x2+ax+1，g（x）=xlnx+1，若？堝x0∈[2，3]使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍。

解析∵函數f（x），g（x）的定義域都為{x|x>0}

∴x2+ax+1≥xlnx+1 ∴ax≥-x2+xlnx（x∈R+）即a≥-x+lnx

要？堝x0∈[2，3]使得f（x）≥g（x）成立，只需a≥h（x）min

∴h（x）min=h（3）=-3+ln3 ∴ a≥-3+ln3

通過上面5個問題的鋪墊可以解決給出的題目

解析：依題得只需f（x）min≥g（x）max，而g（x）max=g（3）=ln3

本人認為問題串教學有幾個好處：

1.充分照顧了學生的發展差異，能夠因材施教，通過由簡單到復雜的教學方式，把難點簡單化。

2.激發所有學生的數學學習興趣，讓學生自己從一道難題中分解出若干個小問題和所需要的知識點，提高學生的學習能力。

3.讓學困生覺得自己也不是所有的題都不會，在簡單題中建立信心，慢慢地會激發他們的學習興趣和斗志，他們的學習會逐步提升一個層次。

編輯 楊兆東