基本不等式教學感悟

潘麗

基本不等式是人教版必修5第三章的內容。本節教學重點是應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程。難點是用基本不等式求最大值和最小值。

利用基本不等式≤求最值必須滿足三個條件才可以進行，即一正，二定，三相等。其中一正是指各項為正數，二定是指“和”或“積”為定值，三相等指等號一定能取得到，這三個條件缺一不可。這是比較抽象的內容，尤其是“定”的相關變化比較靈活。因所帶兩個班級學生基礎相當。因此我嘗試采用兩種不同的教學方式。在一個班級中用以往的教學模式，先引言引出基本不等式，再引導學生探究公式，再給出相應的練習題。很明顯學生是依葫蘆畫瓢，對公式不是很理解，生搬硬套公式，稍微改變就不會了。在另一個班級我改變以往的教學方式，并沒有立即對概念進行進一步的探索，而是在教學過程中讓學生自己發現問題，獨立思考，小組合作再想辦法解決問題。例如，一正，我采用反證法。如果a<0，b<0，結果會怎樣？立刻就有學生回答如果a<0，b<0，左邊為正數，而右邊為負數，不等式不成立。接著給出了兩道練習題。

（1）已知y=x+（x>0），求函數的最小值。

（2）若a，b∈R*求+的最小值。

讓學生初步體會基本不等式的應用。緊接著又給出兩道有難度的題，先讓學生自己獨立完成。學生在做題過程中遇到困難發現無法繼續時，讓學生分組討論。

先讓學生自己獨立思考，再分組討論。學生才能表述出自己的觀點，融入自己的想法。

（3）已知y=sin t+（t∈0，），求函數的最小值。

（4）已知y=x+（x>2），求函數的最小值。

有小組的學生很快給出了第（3）小題的答案是4。此時有學生提出問題，第（3）小題有問題。公式中指出當且僅當a=b時取等號，那么只有當sin t=2時取等號，此時y≥4，函數的最小值為4。然而正弦函數最大值為1，sin t=2不成立。此時取不到等號，函數沒有最小值。說明a=b這個條件不可缺。

對于第（4）小題，學生思考了很久，不知如何解決，此時給學生適當的提示。這道題與之前的（1）（2）有什么區別。有學生發現（1）（2）題中乘積都是一個常數，而這道題x·不是常數，所以找不到最小值。那如何讓乘積變為常數呢？有學生回答將原式改為y=x-2++2就可以了。在解題過程中不斷發現問題，再想辦法解決問題，使學生加深了對概念的理解，也使學生領悟到利用基本不等式≤求最值必須滿足三個條件才可以進行，即一正，二定，三相等。對于第（3）小題不能用基本不等式解決，讓學生課下查找資料尋找解決的方法。這種方法相比較第一個班的教學方法更容易讓學生接受，同時也可以激發學生的學習興趣。

編輯 張珍珍