傅里葉級數與傅里葉變換相互關系在兩個公式推導中的應用

段凱宇 殷仕淑 付明 王松濤

摘 要： 傅里葉級數和傅里葉變換是傅里葉分析方法中兩個最重要的基本概念，是其他傅里葉分析方法的理論基礎.本文將傅里葉級數與傅里葉變換之間的相互關系應用于離散時間傅里葉逆變換和離散傅里葉級數的公式推導，使推導過程更簡單、清晰，有助于理解和掌握傅里葉分析方法的相關內容.

關鍵詞： 傅里葉級數 傅里葉變換 離散時間傅里葉逆變換 離散傅里葉級數 離散傅里葉變換

引言

傅里葉分析主要包括傅里葉級數（FS）、傅里葉變換（FT）、離散時間傅里葉變換（DTFT）、離散傅里葉級數（DFS）和離散傅里葉變換（DFT），其中FS和FT是基礎.文獻[1]從頻域采樣的角度對IDTFT和DFS的公式進行了推導.本文利用指數FS系數與FT的關系對IDTFT和DFS的公式進行推導，有助于更好地理解傅里葉分析方法之間的聯系.

1.指數FS系數與FT的關系

設連續周期函數■（t）的周期為T，x（t）為■（t）的主值，■（t）的指數FS系數為X■，x（t）的FT為X（Ω），二者的關系為：

X■=■X（Ω）■

即周期信號的指數FS系數是其主值FT以Ω■=2π/T為間隔的采樣值的1/T倍.

2.IDTFT公式證明

2.1文獻[1]證明

設序列x（n）的長度為N，其DTFT為X（e■），文獻[1]根據指數FS定義證明IDTFT公式：

FS[X（e■）]=■？蘩■■[■[x（m）e■]e■dω

=■■[x（m）·？蘩■■e■dω]

由指數函數的正交性，當m+n=0時上式不為0，即：

x（-n）=■？蘩■■X（e■）e■dω

x（n）=■？蘩■■X（e■）e■dω

2.2本文證明

X（e■）周期為2π，將X（e■）的公式做如下變形：

X（e■）=■x（n）e■=■x（-n）e■■ （1）

由式（1）可以看出x（-n）是X（e■）的指數FS系數，由指數FS系數與FT之間的關系：

x（-n）=■？蘩■■X（e■）e■dω■=■？蘩■■X（e■）e■dω

將上式中的n用-n代替，得證.文獻[1]和本文都是通過證明X（e■）的指數FS系數是x（-n），進而得到IDTFT公式，但本文的方法更簡潔明了.

3.DFS公式證明

3.1文獻[1]證明

設周期序列■（n）的周期為N，其主值序列為x（n），文獻[1]將■（k）當作X（e■）的單位沖激采樣：

■（k）=X（e■）·■δ（ω-k■）

FS[■（k）]=■FS[X（e■）]*FT[■δ（ω-k■）]

=■x（-n）*■δ（n-lN）=■■（-n）（2）

從而有：

■（k）■·■■（-n）e■=■·■■（n）e■（3）

但式（3）的結論與DFS的公式不符，說明文獻[1]推導過程有誤.

3.2本文證明

設周期函數■（nT■）的周期T=NT■，由指數FS系數與FT之間的關系：

FS[■（n）]=■？蘩■■■（nT■）e■dt■=■■■（n）e■（4）

■（n）=■■[？笪■■（m）e■]e■=■■■（k）e■（5）

將式（4）中的系數1/N歸入式（5），得DFS公式：

■（k）=■■（n）e■

可以證明在采樣間隔為T■時，周期信號單位樣值采樣的指數FS系數是單位沖激采樣的指數FS系數的T■倍，實際上■（k）是X（e■）的單位樣值采樣，采樣間隔為2π/N，式（3）的2π/N倍恰為■（k），所以文獻[1]的錯誤在于混淆了單位樣值采樣與單位沖激采樣.

結語

本文利用指數FS系數和FT之間的關系推導了IDTFT、DFS的公式，分析了文獻[1]推導過程的一個錯誤，與常用的推導方法相比更為簡單和易于理解，加深了對指數FS系數和FT相互關系的認識，強化了傅里葉分析方法中主要公式、概念之間的聯系.

參考文獻：

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安徽財經大學教研項目（acjyyb2014107）