關(guān)于滑塊與木板的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題的例析

吳秀萍

摘 要： 滑塊與長(zhǎng)木板模型的題目，物理變量繁多，各物理量之間相互制約，對(duì)學(xué)生對(duì)各種知識(shí)的綜合分析應(yīng)用能力提出較高要求。作者從滑塊與長(zhǎng)木板模型的基本問題開始，逐步引申到斜面、電磁場(chǎng)等環(huán)境中，以題目為例，對(duì)這一類型問題的解題思路與方法進(jìn)行分析與歸納。

關(guān)鍵詞： 滑塊 長(zhǎng)木板 相對(duì)運(yùn)動(dòng)

滑塊與長(zhǎng)木板模型為運(yùn)動(dòng)力學(xué)的基本模型，考查學(xué)生對(duì)各種相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中摩擦力相互作用的分析與應(yīng)用，是高中物理中常遇問題，也是高考復(fù)習(xí)過程中需要重視的題目類型。該類型題目常引入斜面、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等方面因素，各物理量間相互制約，對(duì)學(xué)生的綜合分析應(yīng)用能力提出更高要求。筆者嘗試從滑塊與長(zhǎng)木板模型的基本情境開始，逐步引申到斜面、電磁場(chǎng)等環(huán)境中，對(duì)此類型問題進(jìn)行分析與歸納。

一、只存在重力場(chǎng)的滑塊與長(zhǎng)木板的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題

例1：如圖1所示，在光滑的水平地面上靜止放置一塊長(zhǎng)度為2米，質(zhì)量為1kg的木板，在木板左端放置一塊質(zhì)量為1kg的滑塊，木板與滑塊之間存在動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2。要使滑塊從木板左端向右滑行而不致滑落，求滑塊初速度最大值。

圖1

解析：由于水平面光滑，滑塊與長(zhǎng)木板作為整體，其在水平方向上不受外力作用。在光滑水平面上，滑塊滑到長(zhǎng)木板上后，滑塊做勻減速運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)木板做勻加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)二者速度相等時(shí)，二者將以共同的速度在光滑水平面上勻速直線運(yùn)動(dòng)，則滑塊不會(huì)滑落。若滑塊初速度較大，滑塊滑到長(zhǎng)木板右端時(shí)，滑塊速度比長(zhǎng)木板大，則滑落。所以當(dāng)滑塊恰好滑到右端且速度與木板相等時(shí)，滑塊的初速度為使其不致滑落的最大值。

滑塊恰好滑到右端時(shí)，滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板的位移為L(zhǎng)，相對(duì)初速度為v=v-v=v，

相對(duì)加速度a=a-a=--=-=-=-2μg

∵L===

∴V==4m/s。

點(diǎn)評(píng)：只存在重力場(chǎng)的環(huán)境是基本類型。處于重力場(chǎng)水平面上，無外力作用，滑塊與長(zhǎng)木塊水平方向上只受摩擦力的作用，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也主要受摩擦力的影響。豎直方向上，只有重力與各個(gè)接觸面之間的壓力，不會(huì)發(fā)生變化。所以相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，摩擦力不會(huì)發(fā)生大小變化，直到速度相同。因此只需要對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)與摩擦力的作出正確的方向判斷，即可得出滑塊與長(zhǎng)木塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

例2：如圖2所示，質(zhì)量為1kg的長(zhǎng)木板停在底端設(shè)有擋板的固定的光滑斜面上，斜面傾角為37°。質(zhì)量為5kg的滑塊以沿斜面方向7.2m/s的初速度，從長(zhǎng)木板底端向上運(yùn)動(dòng)。已知滑塊與長(zhǎng)木板之間動(dòng)摩擦因素為0.3，在整個(gè)過程中，滑塊始終在長(zhǎng)木板上，求滑塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離。（重力加速度為g=10m/s）

圖2

解析：初始滑塊相對(duì)木板做沿斜面向上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，受來自木板的摩擦力沿斜面向下，滑塊做勻減速運(yùn)動(dòng)。長(zhǎng)木板受到摩擦力沿斜面向上，計(jì)算得摩擦力大于長(zhǎng)木板所受重力沿斜面的分力，所以長(zhǎng)木板沿斜面向上做勻加速直接運(yùn)動(dòng)。當(dāng)二者速度相同后，物塊與木板將以相同的速度與加速度一起向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直到二者速度減少到零時(shí)，物塊運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)。

設(shè)滑塊的質(zhì)量m，剛開始時(shí)勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為

a==gsinθ+μgcosθ=8.4m/s

設(shè)長(zhǎng)木板的質(zhì)量為m，剛開始時(shí)做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為

a==6m/s

設(shè)經(jīng)過t時(shí)間，二者的速度相等時(shí)

v=v-at=at？圯t=0.5s？搖？搖v=3m/s

當(dāng)二者的速度相等后，滑塊與長(zhǎng)木板的加速度相等a=g·sinθ=6m/s。

所以滑塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為s=t+=3.3m。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)系統(tǒng)處于斜面，影響運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的，除摩擦力外還必須考慮重力沿斜面分力的作用。重力分力是不變的，其對(duì)滑塊與長(zhǎng)木板產(chǎn)生的加速度也是相等的。所以當(dāng)斜面光滑時(shí)，滑塊與長(zhǎng)木板速度相等即相對(duì)靜止后，摩擦力消失，在斜面方向上，二者只受重力分力作用，以相同的速度與加速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。

例3：一長(zhǎng)木板在水平地面上運(yùn)動(dòng)，在t=0時(shí)刻將一相對(duì)于地面靜止的滑塊輕放到長(zhǎng)木板上，以后長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖像如圖3所示。已知滑塊與長(zhǎng)木板質(zhì)量相同，滑塊與長(zhǎng)木板間、長(zhǎng)木板與地面間均有摩擦，滑塊與長(zhǎng)木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且木板足夠長(zhǎng)。（取重力加速度g=10m/s）

求：（1）滑塊與長(zhǎng)木板間μ和長(zhǎng)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；

（2）從t=0時(shí)刻開始到滑塊與長(zhǎng)木板都靜止時(shí)，滑塊相對(duì)于長(zhǎng)木板的位移的大小。

圖3

解析：（1）從t=0時(shí)開始，以長(zhǎng)木板為參照物，滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板向左方向運(yùn)動(dòng)，所以滑塊受到的滑動(dòng)摩擦力方向向右，使滑塊加速；長(zhǎng)木板受到滑塊和地面的摩擦力，使木板減速，此過程一直持續(xù)到物塊和木板具有共同速度為止，所以在圖像折點(diǎn)處，即0.5s時(shí)，物塊和木板速度相等。設(shè)從0—0.5s時(shí)間內(nèi)，滑塊加速度為a，長(zhǎng)木板加速度為a，則

對(duì)于滑塊：a===2m/s

由牛頓第二定律得：μmg=ma？圯μ===0.2

對(duì)于長(zhǎng)木板：a=||=||=8m/s

由牛頓第二定律得：μmg+μ（mg+mg）=ma？圯μ=0.3

（2）當(dāng)二者速度相等后，假設(shè)滑塊與長(zhǎng)木板一起做勻減速運(yùn)動(dòng)，對(duì)于滑塊和長(zhǎng)木板這個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析得出系統(tǒng)共同加速度：μ·2mg=2ma？圯a=μg=3m/s

滑塊受到靜摩擦力為：f=ma=3m（N）

又因?yàn)榛瑝K受到的最大靜摩擦力為：f=μmg=2m（N）

∵滑塊受到的f>f

∴假設(shè)不成立

二者仍發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，且以不同加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)滑塊和長(zhǎng)木板的加速度分別為a′和a′，可得

μmg=ma′？圯a′=a=2m/s

μ·2mg-μmg=ma′？圯a′=4m/s

則滑塊的v-t圖像如圖3-1中虛線所示。可推知，從t=0到停止，滑塊和長(zhǎng)木板的運(yùn)動(dòng)距離分別為

圖3-1

s=×t×2=×0.5×2=0.5（m）

s=×t×=×0.5×=1.625（m）

∴s=|s-s|=1.125（m）

點(diǎn)評(píng)：若水平地面粗糙，滑塊與長(zhǎng)木板速度相等后，整個(gè)系統(tǒng)在水平方向上仍受外力即地面摩擦力作用。此時(shí)需用假設(shè)法判斷是否以相同加速度進(jìn)行勻減速運(yùn)動(dòng)，或是以不同的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)。

二、勻強(qiáng)電場(chǎng)作用下滑塊與長(zhǎng)木板的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題

例4：如圖所示，在電場(chǎng)強(qiáng)度為E=1×10N/C的水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，粗糙水平面上靜止放置著一質(zhì)量為M=0.2kg的長(zhǎng)木板。另一帶正電荷滑塊以初速度v=8m/s滑上長(zhǎng)木板，滑塊質(zhì)量為m=0.1kg，帶電量為q=2×10C。已知長(zhǎng)木板與水平面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，滑塊與長(zhǎng)木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度為g=10m/s。求：

圖4

（1）開始時(shí)滑塊和長(zhǎng)木板的加速度大小分別為多少？

（2）滑塊最后停止時(shí)，距長(zhǎng)木板左端的距離為多少？

解析：（1）滑塊與長(zhǎng)木板之間的滑動(dòng)摩擦力f=μ·mg=0.5N，長(zhǎng)木板與水平面之間滑動(dòng)摩擦力f=μ（m+M）g=0.3N，電場(chǎng)力qE=0.2N。

滑塊剛滑上長(zhǎng)木板時(shí)，相對(duì)長(zhǎng)木板向右運(yùn)動(dòng)，滑塊受到長(zhǎng)木板的動(dòng)摩擦力向左，長(zhǎng)木板受滑塊摩擦力向右。

設(shè)此時(shí)長(zhǎng)木板與滑塊的加速度分別為a和a，可得：f–qE=ma，f–f=ma，得a=3m/s，a=1m/s。

（2）設(shè)二者經(jīng)過t時(shí)間速度相等，此時(shí)速度為v，則v-at=at=v，得t=2s，v=2m/s。

這段時(shí)間內(nèi)滑塊位移：s=·t=×2=10（m）

長(zhǎng)木板位移：s=·t=×2=2（m）

當(dāng)長(zhǎng)木板與滑塊速度相等，假設(shè)二者以相同速度與加速度一起向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，對(duì)滑塊和長(zhǎng)木板系統(tǒng)的水平受力分析，可得共同的加速度為

F-qE=（m+M）a？圯a=（m/s）

此時(shí)滑塊受到的靜摩擦力為f′：f′-qE=ma？圯f′=（N）

∵f′

∴假設(shè)成立

在此之后，滑塊與長(zhǎng)木板一起向右減速運(yùn)動(dòng)。滑塊最后停止時(shí)，距長(zhǎng)木板左端的距離為Δs=s–s=8m。

點(diǎn)評(píng)：在勻強(qiáng)電場(chǎng)作用下，帶電物體除受到重力壓力摩擦力的作用外，還受大小方向不變的電場(chǎng)力作用。若電場(chǎng)方向是水平的，電場(chǎng)力對(duì)摩擦力沒有直接影響，則只需將其作為一個(gè)恒力考慮，其他方面與沒有電場(chǎng)力作用的情況相同。若電場(chǎng)方向不是水平，則需要考慮電場(chǎng)力在豎直方向的分力對(duì)摩擦力的影響。

三、勻強(qiáng)磁場(chǎng)作用下滑塊與長(zhǎng)木板的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題

例5：如圖5所示，在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，將一帶負(fù)電荷的滑塊A放置在不帶電的絕緣小車B上，初始時(shí)二者均處于靜止?fàn)顟B(tài)。在t=0時(shí)刻小車B受到一較小的水平向左恒力F推動(dòng)。已知地面光滑，小車B足夠長(zhǎng)，A、B接觸面粗糙，在運(yùn)動(dòng)過程中A所帶電荷量保持不變。圖5-乙中關(guān)于A、B的v-t圖像大致正確的是（？搖？搖？搖？搖）

圖5

解析：滑塊A在水平方向上只受摩擦力作用，滑塊A與小車B間壓力等于重力與豎直向上的洛倫茲力的合力，摩擦力受其影響而變化；小車B在水平方向上受滑塊A的摩擦力與恒力F的共同作用。

初始二者速度小，洛倫茲力小，二者一起做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，共同加速度a=，滑塊受靜摩擦力f=m·a=。

隨運(yùn)動(dòng)進(jìn)行，A受到方向向上的洛倫茲力逐漸增大，A對(duì)B的壓力逐漸減小，使得A、B間的最大靜摩擦力減小，當(dāng)f

點(diǎn)評(píng)：在勻強(qiáng)磁場(chǎng)作用下，帶電物體在運(yùn)動(dòng)過程中受垂直于運(yùn)動(dòng)方向的洛倫茲力影響。當(dāng)磁場(chǎng)方向垂直于紙面，洛倫茲力方向是豎直的，與重力共同影響物體之間的壓力，從而影響摩擦力。需注意速度的變化引起洛倫茲力變化，從而影響摩擦力，應(yīng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析。

小結(jié)：滑塊與長(zhǎng)木板相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題，在認(rèn)真審題和進(jìn)行初步的受力分析后，需要理清以下三個(gè)問題：1.豎直于運(yùn)動(dòng)方向的力的作用，尤其是壓力變化對(duì)摩擦力影響；2.平行于運(yùn)動(dòng)方向的合力對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的作用，尤其注意外力在水平方向分力，以及摩擦力的變化；3.運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的臨界點(diǎn)時(shí)，物體受力情況與加速度的變化，如滑塊與木板速度相同時(shí)的力的變化。理清這三個(gè)問題，即可將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程清晰地呈現(xiàn)出來，從而找出解題思路。