關于全概率公式和貝葉斯公式的教學設計

萬祥蘭

摘 要： 全概率公式和貝葉斯公式是概率教學中的重難點.本文利用啟發式、總結式等方法，對全概率公式和貝葉斯公式進行教學設計，并結合實例，給出相關的應用.

關鍵詞： 全概率公式 貝葉斯公式 完備事件組

1.引例

某廠使用甲、乙、丙三個產地的同型號電子元件用于生產電腦，其來自三地的元件數量各占0.25，030，0.45，且它們的合格率分別為0.95，0.96，0.97，

（1）若任取一元件，問取到的是合格品的概率是多少？

（2）若查出某一元件不合格，問該元件最有可能來自何地？

在第（1）問中，雖不知元件產自何地，但知道必是甲、乙、丙三地之一，合格率的大小與產地有關，而第（2）問則是已知結果追溯原因，并作出決策.為此引出解決這兩類問題的方法，即全概率公式、貝葉斯公式及貝葉斯決策.

2.全概率公式和貝葉斯公式

定理：設事件A ，A …A 兩兩互不相容，P（A ）>0（I=1，2，…，N），且 A =Ω，則對任一事件B，有

全概率公式：P（B）= P（A ）P（B|A ）

貝葉斯公式：若P（B）>0，則P（A |B）= （i=1，2，…n）

證明參見教材.

由這個定理可得例2的解如下：

設A ，A ，A 分別表示“電子元件來自甲、乙、丙三地”，則A ，A ，A 構成Ω的一個劃分，又設B表示“取得的元件為合格品”，易知

P（A ）=0.25，P（A ）=0.30，P（A ）=0.45，P（B|A ）=0.95，P（B|A ）=0.96，P（B|A ）=0.97

于是

（1）P（B）= P（A ）P（B|A ）=0.25×0.95+0.30×0.96+0.45×0.97=0.9620

（2）P（A | ）= = =0.3289

同理，P（A | ）= =0.3157

P（A | ）= =0.3552

由計算結果知P（A | ）>P（A | ）>P（A | ）.

從這個例子可以看到，全概率公式和貝葉斯公式的條件完全相同，是一個問題的兩個方面.在全概率公式中，構成劃分的事件A ，A …A 是導致試驗結果的原因，故P（A ）叫先驗概率，而在貝葉斯公式中P（A | ）叫后驗概率，這是知道結果再追溯原因出在何處，并由此作出貝葉斯決策，這種決策方法在隨機信號處理、投資決策和風險管理等方面有廣泛應用.

3.應用舉例

例2：某人到外地開會，他乘火車、輪船、汽車或飛機去的概率分別為0.2，0.1，0.3和0.4，他乘火車、輪船、汽車遲到的概率分別為 ， ， ，乘飛機不會遲到，求他開會遲到的概率.

分析：引起目標事件P（B）“遲到”的所有原因為乘火車、輪船、汽車或飛機，它們構成了完備事件組，且P（B|A ）已知，因此可以直接用全概率公式求解.

解：設B表示事件“開會遲到”，A ，A ，A ，A 分別表示“某人乘火車、輪船、汽車或飛機”，由全概率公式

P（B）= P（A ）P（B|A ）=0.2× +0.1× +0.3× +0.4×0≈0.152

例3：考試時選擇題有4個答案，其中只有一個是正確的，當學生不會做時可以隨機猜測.假設一個學生會做題與不會做題的概率相等，現在從卷面上看該題答對了，求該學生確實會做此題的概率.

分析：現在是知道結果“卷面上看該題答對了”，追溯原因“學生確實會做此題”，顯然是用貝葉斯公式.

解：設事件B表示“學生答對該題”，A表示“學生會做該題”，A與 構成了一個完備事件組.從而P（A）=P（ ）=0.5，P（B|A）=1，P（B| ）=0.25，由貝葉斯公式，可得所求概率為：

P（A|B）= = =0.8

在應用全概率及貝葉斯公式時，有時常使用某事件A與其逆事件 作為一個劃分.

例4：某地區居民的肝癌發病率為0.0004，采用甲胎蛋白法進行普查，醫學研究表明，化驗結果是存在錯誤的.已知患有肝癌的人其化驗結果0.99呈陽性（有?。?，而沒有患肝癌的人其化驗結果0.999呈陰性（無?。F某人的檢驗結果為陽性，問他真的患肝癌的概率是多少？

解：設B表示事件“檢驗結果呈陽性”，A表示“被檢查者患有肝癌”，顯然，A與 構成了一個完備事件組.P（A）=0.0004，P（B|A）=0.99，P（ ）=0.9996，P（B| ）=0.001，由貝葉斯公式，可得

P（A|B）= = =0.284

檢查結果呈陽性真的患肝癌的概率只有0.284，如何確保診斷無誤呢？臨床上通常的辦法就是復診.復診時患肝癌的概率不再是0.0004，而是0.284，第一次檢查呈陽性，對其患病的概率進行了修正.

假若第二次檢查仍然呈陽性，則患肝癌的概率為

P（A|B）= = =0.997

該例題表明復查可以提高醫生診斷的準確性.

4.應用公式的一般步驟

（1）找出樣本空間Ω的完備事件組；

（2）求P（A ），P（B|A ）；

（3）求P（B），P（A |B）.

5.課堂小結

全概率公式——由因求果，貝葉斯公式——執果尋因.

參考文獻：

[1]李子強.概率論與數理統計.科學出版社，2011：18-19.

[2]符方健.全概率公式及其應用技巧[J].高等數學研究，2011，14（2）：52-54.