多畫草圖絕對值

林海燕

一、說題引入

加里寧說：數學是思維的體操.數學是一門換腦子的學科.它能鍛煉我們的思維，讓我們的思維更縝密，想事情的時候考慮得更全面.它能很好地提升我們的思維水平及思維品質.因此，從初一開始我們應有意識地對學生進行思維能力的訓練.這里要說的是初一的一道有關絕對值問題的試卷改編題.

絕對值幾何的意義：在數軸上，一個數到原點的距離叫做該數的絕對值.在數軸上，表示一個數a的點到數b的點之間的距離的值，叫做a-b的絕對值，記作|a-b|.對于絕對值問題，利用數形結合的方法，往往簡潔直觀，能收到事半功倍的效果.

二、原題再現

|a|=|a-0|表示數a的點到原點的距離（這是絕對值的幾何意義）.進一步的，數軸上兩個點A，B分別用a，b表示，那么A，B兩點之間的距離為AB=|a-b|.利用此結論，結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：

（1）數軸上表示-3和4的兩點之間的距離是 ；

（2）數軸上表示x和-3的兩點A.B之間的距離是 ；如果|AB|=2，那么x的值為 ；

（3）說出|x+3|+|x-4|表示的幾何意義 ；

（4）由以上探索猜想對于任何有理數x，|x+3|+|x-4|是否有最小值？如果有寫出最小值；如果沒有說明理由.

三、背景來源，命題立意

此題是平時試卷的改編題，它來源于華師大版七年級上冊數學書本38頁習題的第六題.

知識點涉及數軸、絕對值問題.此題考查了學生對絕對值幾何意義的真正理解與應用.此題可考查學生的觀察與歸納、化歸與轉化等知識能力；可發展學生的符號感，增強學生的應用意識.在分析中注意引導學生運用數形結合的方法解決問題.此題分為四個小題，由易到難，步步為營，環環緊扣，符合《新課標》要求.

四、解題指導

1.數學思想：從特殊到一般、用字母表示數、數形結合、化歸與轉化的數學思想等.

2.數學方法：分類討論法、構造圖形法等.

五、題目分析

解法：首先引導學生從條件入手，借助數軸，自主探究，完成問題（1）（2）的解答，然后在小組充分討論后，概括得出自己的答案.這樣使不同水平的學生都能得到發展.既激發了學生的學習興趣，又增強了學生的學習信心.其中問題（2）的前一空格，對學生來說有一定難度，是解決后面問題的轉折點.數學課程標準指出：通過教學活動，要使學生能用實例對一些數學猜想作出檢驗，并能用文字、字母清楚地表達解決問題的過程，解釋結果的合理性.解析時教師在此處應發掘“問題”間的關系，從學生的“最近發展區”入手，因勢利導，利用題目所給的條件做引導，讓學生翻開書本P38頁習題第6題，然后多舉幾個例得出AB=|a-b|的結論，即數軸上兩點間的距離公式：在數軸上，表示一個數a的點到數b的點之間的距離的值，叫做a-b的絕對值，記作|a-b|.此公式來源于書本.但初一的學生的概括能力較差，對于用字母表示的公式不太會用，覺得很抽象.因此在此處宜慢不宜快，根據從特殊到一般的規律多舉實例加以驗證以突破這個難點.這個公式在直角坐標系中有著很大的用處.另一法：轉化為方程：x+3=2或x+3=-2.問題（3）、（4）先讓學生思考5分鐘后師生共同解決，努力營造師生、生生互動的課堂氛圍，形成有效的學習活動.

（3）的解決緊扣（2）的問題，使用轉化思想，把|x+3|化為|x-（-3）|，意義為在數軸上表示x和-3兩點之間的距離，并在此處概括為│x-a│在數軸上表示數x的點與表示數a的點兩點之間的距離，此問的設計為下一題的思路引導做好鋪墊，是下一問知識的“生長點”.

（4）的解法有兩種：

法一為零點區間分類討論法，即按x的取值范圍分區間討論，易知該題原式有兩個零點x=-3、x=4【分三種情況】：

①當x≤-3時，|x+3|+|x-4|=-x-3-x+4=-2x+1>6+1=7

②當-3csrOPyr59dqDy7RYWaZOwpSCWFoJHeb84oSoMsIx92M=

③當x>4時，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1>8-1=7

綜上所述，|x+3|+|x-4|可取最小值是：7.

此處老師向學生介紹如何求零點，即令x+3=0和x-4=0得x=-3和x=4.在這一活動中，讓學生感悟分類討論的數學數學，積累數學活動經驗.

法二為數形結合法，即借助數軸上點P到點M和N的距離之和為│x-m│+│x-n│.啟發學生思考如何把|x+3|+|x-4|轉化為類似問題（3）的方法解決.即把|x+3|+|x-4|轉化|x-（-3）|+|x-4|，去求在數軸上表示數a的點與表示-3和4的點距離之和的最值問題.老師黑板示范，根據三種區間畫出三個數軸的草圖.此種方法學生易于接受.最后概括為：|x+3|+|x-4|≥7.

兩種解法的比較，讓學生體驗數形結合法的妙用——形象直觀，既快又準.

法三為特殊值法，學生中有不少人用此法，但取的值不全，不易找到極值.

六、變式與拓展

1.變式：（條件變式）

（1）把原題中的第4改為若點P表示的數為x，當點P在數軸上什么位置時，|x+3|+|x-4|的值最小？

（2）把原題中的第4改為若點P表示的數為x，當點P在數軸上什么位置時，|x+3|-|x-4|的值最大？

（3）找出所有符合條件的整數x，使得|x+3|+|x-4|=7這樣的整數是 .

（4）解方程：|x+3|+|x-4|=9.

2.|a-2014|+|a-2015|的最小值是 .

3.拓展：當a取何值時，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是多少？請說明理由.（結構變式）

4.拓展：如圖，已知數軸上有A、B、C三個點，它們表示的數分別是-24，-10，10.

（1）填空：AB= ，BC= ；

（2）若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒3個單位長度和7個單位長度的速度向右運動.試探索：BC-AB的值是否隨著時間t的變化而改變？請說明理由.

（概括：數軸上兩點間的距離=大的數-小的數）

提示：（1）14，20；（2）經過t秒后，A、B、C三點所對應的數分別是-24-t，-10+3t，10+7t則BC=（10+7t）-（-10+3t）=4t+20，AB=（-10+3t）-（-24-t）=4t+14，BC-AB=（4t+20）-（4t+14）=6.∴BC-AB的值不會隨著時間t的變化而改變.