數列通項公式的常見題型及求法

連蘭

摘 要： 數列通項公式的求解是高考的常考點，常見的題型主要有八種：給出遞推關系型，給出前項和型，周期函數型.其基本的解法有：公式法，累加法，累乘法，構造法.

關鍵詞： 通項公式 累加法 累乘法 構造法

一、a -a =d（常數）型

由等差數列的定義，可以判斷數列{a }為等差數列，故可用公式法.

例1：已知數列{a }滿足a =1，a =a +2，（n∈N ），求這個數列的通項公式a .

解：∵a -a =2

∴數列{a }是首項a =1，公差d=2的等差數列.

故a =a +（n-1）d=1+（n-1）·2=2n-1

二、a -a =f（n）型

f（n）是以n為自變量的函數，此時可以用累加法：

a =a +（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）

例2：已知數列{a }滿足a =1，a =a +2n，求這個數列的通項公式a .

解：∵a -a =2n

∴a =a +（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）=1+2×1+2×2+…2×（n-1）=1+2[1+2+…+（n-1）]=n -n+1

三、 =q（常數）型

由等比數列的定義，可以判斷數列{a }為等比數列，故可用公式法.

例3：已知數列{a }滿足a =1，a =2a （n∈N ），（n∈N ），求這個數列的通項公式a .

解：∵ =2

∴數列{a }是首項a =1，公比q=2的等比數列.

故a =a q =2

四、 =f（n）型

f（n）是以n為自變量的函數，此時可以用累乘法：a =a · · ·…· .

例4：已知數列{a }滿足a =1，a =2 ·a ，（n∈N ），求這個數列的通項公式a .

解：∵ =2

∴a =a · · ·…· =1×2×2 ×…×2 =2

五、a =Aa +B型，其中A，B∈R

若A=1，則為上述的第一、二類題型.

若A≠1，則用構造法，即想方設法構造為一個新的數列，使這個新的數列為我們所熟悉的等差數列.此時構造的新數列{a + }是首項為a + ，公差為A的等差數列.

例5：已知數列{a }滿足a =1，a =2a +3，（n∈N ），求這個數列的通項公式a .

解：設a +t=2（a +t），即a =2a +t

又∵a =2a +3

∴t=3

故有a +3=2（a +3）

∴數列{a +3}是首項為4，公差為2的等差數列

因此a +3=4+（n-1）·2=2n+2

即a =2n-1為所求.

六、S =f（n）型

利用a =S ，（n=1）S -S ，（n≥2）求通項公式.

例6：已知數列{a }的前n項和為S =n -10n.（n=1，2，3…），則其通項公式為a =？搖？搖 ？搖？搖.

解：當n=1時，a =S =-9

當n≥2時，a =S -S =（n -10n）-[（n-1） -10（n-1）]=2n-11

∵a =-9適合上式

∴a =2n-11，n≥1

七、S =f（a ）型

利用a =S ，（n=1）S -S ，（n≥2）轉化為遞推公式，即為上述的前五類題型來求解.

例7：已知數列{a }的前n項和為S ，S = （a -1），n∈N ，求通項公式a .

解：當n=1時，a =S = （a -1），此時a =-

當n≥2時，a =S -S = （a -1）- [a -1]

即有 =-

∴數列{a }是首項a =- ，公比q=- 的等比數列，

故a =a q =（- ） .

八、周期數列

例8：已知數列{a }滿足a =0，a = ，（n∈N ），（n∈N ），則a =（？搖？搖？搖？搖）

A

分析：a =0，a =- ，a = a =0…

由此可看出數列{a }是一個周期數列，其最小正周期為3，

故a =a =a =- .