歷史上的相似三角形

呂愛生

相似三角形知識有著悠久的歷史，為我們數學學習提供了豐富的材料. 在不同文明的不同歷史時期，相似三角形在測量上都曾有著重要的應用，本文將介紹這方面有關的幾則歷史故事.

“圖形的相似”是初中數學的內容之一，相似三角形的判定、性質和應用是其中最重要的內容，從歷史上看，相似三角形很早就已經為人們所認識. 大約公元前20世紀，在古巴比倫泥版文獻中就已經出現相似三角形的應用問題；公元前6世紀，古希臘的工程師歐帕里諾斯在設計隧道挖掘工程時就可能運用了相似三角形的性質；古希臘幾何學的鼻祖泰勒斯曾多次利用相似三角形的性質來解決相關測量問題；我國古代數學著作《九章算術》中的遠距離測量技術也是以相似三角形的性質為基礎的. 下面來講些實例.

我國明末清初時的“梅氏數學家家族”祖孫四代人，共有十多位數學家. 其主要代表人物是梅文鼎和他的孫子梅玨成.

這里有一則關于梅玨成的記載：一天，他外出游玩時，看見路邊有幾個農民正在測量一塊直角三角形形狀的田地. 他就走過去，詢問起來. 原來這幾個農民想在這塊直角三角形田上砌一個正方形的池子，并要求這個正方形的面積盡可能大.

梅玨成問明了兩個測量出來的數字（一條直角邊長24米，另一條直角邊長10尺）以后，說：“這很簡單，只要設所求的正方形邊長為x，利用兩個相似三角形的對應邊成比例關系，即可得：24∶x=10∶（10-x），x=（尺），即為所求. ”

幾個農民聽完后，連聲稱贊道：“先生真了不起！我們對算術可是一竅不通. ”親愛的同學，你可聽明白了梅玨成的話沒有？

我國《九章算術》勾股章有如下兩道問題，你能寫出解題過程嗎？

例1 今有邑方二百步，各開中門.出東門一十五步有木.問：出南門幾何步而見木？（如圖1）

例2 今有井徑五尺，不知其深.立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸. 問：井深幾何？（如圖2）

古希臘幾何學的鼻祖泰勒斯年輕時游歷埃及，測得金字塔的高度.請你復原泰勒斯的測量方法.（參見圖3）

古希臘第八大島嶼——薩默斯島上有一條修建于公元前6世紀的供水薩默斯隧道，如圖4，隧道長1 036米，橫截面寬和高各為1.8米，筆直地穿過了一座小山.為了縮短建成時間，設計者歐帕里諾斯讓工程隊從小山兩邊同時開始挖掘，兩隊在山體中間會合.

試想，在2500多年前，沒有任何現代化的儀器，如何保證兩支工程隊不偏不倚正好在山底的某處相遇？令人驚嘆的是，歐帕里諾斯做到了，隧道一線貫通，兩支工程隊會合得天衣無縫.他是怎么做到的呢？與我們所學的相似三角形有什么關系呢？你想知道其中的奧秘嗎？

歐帕里諾斯實質是聰明地運用了相似三角形知識（定義、判定定理），保證了四點共線，才創造了一個水利工程奇跡.

他是這樣解決這個問題的：要在兩個入口A與B之間挖一條隧道. 從B點處出發任作一直線段BC，過C作BC的垂線CD，然后，依次作垂線DE、EF、FG、GJ，直至接近A點. 在每一條線段的一個端點處能看到另一個端點. 在最后一條垂線GJ上選取點J，使得AJ垂直GJ. 設AK為CB的垂線，K為垂足，則AK=CD-EF-GJ，BK=DE+FG-BC-AJ. 再在BC和AJ上分別取點L和點N，過點L和點N分別作BC和AJ的垂線，在兩垂線上分別取點M和點P，使得，于是有Rt△BLM、Rt△BKA、Rt△ANP為一組相似三角形，因此，點P、A、B、M在一條直線上. 所以，只需保證在隧道挖掘過程中，工人始終能看見點P和點M的標識即可.

實際上，像這樣的生活奇跡有很多，創造者都是那些愛動腦筋、善于思考的人，希望同學們能像他們那樣，將學習融入生活，將生活看作學習.

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實驗初中教育集團近湖校區）