直擊2014年中考中二次函數的應用

吳智勇

中考中與二次函數應用有關的考題比較多，本文從2014年中考題中選三例分析，供同學們學習時參考.

一、 尋求最大利潤

例1 （2014·湖北武漢）九（1）班數學興趣小組經過市場調查，整理出某種商品在第x（1≤x≤90）天的售價與銷量的相關信息如下表：

已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品的每天利潤為y元.

（1） 求出y與x的函數關系式；

（2） 問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少？

（3） 該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4 800元？請直接寫出結果.

【分析】（1） 根據單價乘數量，可得答案；

（2） 根據分段函數的性質，分別求出最大值，然后比較得答案；

（3） 根據二次函數值大于或等于4 800，一次函數值大于或等于4 800，得不等式組，解不等式組，得答案.

解：（1） 當1≤x<50時，y=（200-2x）·（x+40-30）=-2x2+180x+2 000，

當50≤x≤90時，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12 000，

所以y與x的函數關系式：

y=-2x2+180x+2 000（1≤x<50），-120x+12 000 （50≤x≤90）.

（2） 當1≤x<50時，二次函數開口下，二次函數對稱軸為x=45；

當x=45時，y最大=-2×452+180×45+2 000=6 050；

當50≤x≤90時，一次函數中，y隨x的增大而減小，當x=50時，y最大=6 000.

綜上所述，銷售該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6 050元.

（3） 當20≤x≤60時，每天銷售利潤不低于4 800元.

【點評】此題為數學建模題，根據題意，建立二次函數的模型，然后借助二次函數解決實際問題，對于最大利潤則利用了二次函數的性質求解，其中分類討論是解題關鍵.

二、 試驗新產品

【點評】此題主要考查了反比例函數與二次函數綜合應用，根據圖像得出正確信息是解題關鍵.

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學教育集團）