例說拋物線的對稱性 助解中考壓軸題

崔恒劉

二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像拋物線是一個軸對稱圖形，當我們面對拋物線的問題時如果能用好用足拋物線的對稱性，則能化繁為簡，迅速求解. 本文以杭州、泰州、北京的三道中考壓軸題為例，層層遞進，分析研究借助拋物線的對稱性解題的好處.

綜上所述：當點C的坐標為（0，8）時，要使y1隨著x的增大而減小，則x>2；當點C的坐標為（0，-8）時，要使y1隨著x的增大而減小，則x<-2.

【點評】二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是軸對稱圖形，當a>0時，在對稱軸的左側，y隨著x的增大而減小，在對稱軸的右側，y隨著x的增大而增大；當a<0時，在對稱軸的左側，y隨著x的增大而增加，在對稱軸的右側，y隨著x的增大而減小. 本題欲求“當y1隨著x的增大而減小時，自變量x的取值范圍”，這就告訴我們本題與拋物線的對稱性有關，我們必須探索拋物線的開口方向和對稱軸.

例2 （2013·江蘇泰州）已知：關于x的二次函數y=-x2+ax（a>0），點A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在這個二次函數的圖像上，其中n為正整數.

（1） 若y1=y2，請說明a必為奇數；

（2） 設a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；

（3） 對于給定的正實數a，是否存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代數式表示）；如果不存在，請說明理由.

【分析】（1） 因為點A（n，y1）、B（n+1，y2）都在二次函數y=-x2+ax的圖像上，所以y1=-n2+an，y2=-（n+1）2+a（n+1），

若y1=y2，則-n2+an=-（n+1）2+a（n+1），

整理得a=2n+1，因為n為正整數，所以a必為奇數.

【點評】本題雖然沒有像例1那樣，用文字語言明確說明二次函數的增減性，但它用符號語言表明了這種增減性. 你可以用不等式的知識解決這個問題，但利用拋物線的軸對稱解決更有它的優越性，而且要注意，對于自變量取連續的兩個整數，過了對稱軸，還能保持一點點的連續不變的增減性. 第（3）問更是妙不可言，就由你自己來意會吧.

例3 （2013·北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-2mx-2（m≠0）與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B.

（1） 求點A、B的坐標；

（2） 設直線l與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線l的解析式；

（3） 若該拋物線在-2

【分析】（1） 當x=0時，y=-2，所以拋物線與y軸交于點A（0，-2），y=mx2-2mx-2=m（x-1）2-（m+2），所以拋物線的對稱軸為直線x=1，其與x軸的交點坐標為B（1，0）.

（2） 因為拋物線的對稱軸為直線x=1，所以點A（0，-2）、B（1，0）關于拋物線對稱軸的對稱點為A′（2，-2）、B′（1，0），因為直線l與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，所以直線l經過A′（2，-2）、B′（1，0）.由此可求直線l的解析式為y=-2x+2.

（3） 這是本題的難點所在，解題的關鍵是觀察圖像，根據拋物線的對稱性，將“拋物線在2

因為拋物線對稱軸為x=1，如圖5，拋物線在2

當x=-1時，代入直線l得y=-2x+2=4，所以拋物線過點（-1，4），當x=-1時，m·（-1）2-2m·（-1）-2=4，解之：m=2. 所以拋物線解析為y=2x2-4x-2.

【點評】本題第（3）問主要難點在于對數形結合的認識和了解，要能夠觀察到由于直線l與直線AB關于拋物線的對稱軸對稱，拋物線在2

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學教育集團）