剖析錯因 夯實基礎

張蓉

二次函數是中考命題的必考內容之一，同學們在解答中常出現形式各樣的錯誤，造成失分. 為了幫助同學們深刻掌握這部分知識，現將同學們在解答這方面的問題時，容易出現的錯誤類型歸納如下：

錯之一：忽略二次函數的二次項系數不為0的條件

例1 如果y=（m+1）xm2-m-3x+1是二次函數，則m的值為_______.

【錯解】∵y=（m+1）xm2-m-3x+1是二次函數，∴m2-m=2，解得m=2或m=-1.

【錯因剖析】二次函數一般形式y=ax2+bx+c中要求二次項系數a≠0，錯解中注意到“二次項次數必須是2次”，卻忽略“二次項的系數不能為0”這一條件，所以本題還要求m+1≠0，即m≠-1. 正確答案填：2.

【點評】題目給出的二次函數解析式中，如果二次項的系數含有字母，切記“二次項的系數不能為0” 這一條件.

錯之二：誤將函數讀為二次函數

例2 如果函數y=mx2-6x+2的圖像與x軸只有一個公共點，則m的值為_______.

【錯解】∵y=mx2-6x+2的圖像與x軸只有一個公共點，∴b2-4ac=0.

即（-6）2-4m×2=0，m=.

【錯因剖析】審題不清，題目條件是函數，并沒有明示或暗示是二次函數，所以它既可以是一次函數，也可以是二次函數. 解題時必須分類討論：如果m=0，函數是一次函數，圖像與x軸只有一個公共點，符合題意；如果m≠0，函數是二次函數，當b2-4ac=0時，頂點在x軸上（即圖像與x軸只有一個公共點），此時m=. 正確答案填：0或.

【點評】遇到函數題，審題要仔細，一次二次要深思.

錯之三：思維定勢誤認二次函數頂點縱坐標就是最值

例3 （2014·江蘇南通）已知實數m，n滿足m-n2=1，則代數式m2+2n2+4m-1的最小值等于_______.

【錯解】∵m-n2=1，即n2=m-1，

∴m2+2n2+4m-1=m2+2m-2+4m-1=（m+3）2-12≥-12，

則代數式m2+2n2+4m-1的最小值為-12.

【錯因剖析】消去n得到一個關于m的二次三項式，利用二次函數來求最小值，方法非常好，但忽視了自變量m的取值范圍. 因為n2=m-1≥0，所以m≥1，結合函數圖像（如圖1），當m=1時，代數式m2+2n2+4m-1的最小值等于4. 正確答案填：4.

【點評】當利用函數來求最值問題時，一定要考慮自變量的取值范圍，不能一味地認為頂點縱坐標一定是最大或最小值.

錯之四：混淆圖像平移的順序

例4 把二次函數y=x2+bx+c的圖像沿y軸向下平移1個單位長度，再沿x軸向左平移5個單位長度后，所得的拋物線的頂點坐標是（-2，0），寫出原拋物線所對應的函數關系式.

【錯解】由題意設新拋物線解析式為y=（x+2）2，因為圖像沿y軸向下平移1個單位長度，再沿x軸向左平移5個單位長度，所以原拋物線所對應的解析式為y=（x+2+5）2-1，即y=x2+14x+48.

【錯因剖析】審題不清，題目要求由原拋物線沿y軸向下平移1個單位長度，再沿x軸向左平移5個單位長度，錯解平移的方向全反了，變成了新拋物線平移得原拋物線. 本題的實質是由新拋物線原路返回得原拋物線，即沿y軸向上平移1個單位長度，再沿x軸向右平移5個單位長度. 所以已知新拋物線解析式為y=（x+2）2，則原拋物線所對應的解析式為y=（x+2-5）2+1，即y=x2-6x+10.

【點評】這一類的圖像平移題通常有三種情形：（1） 已知原來的圖像解析式以及平移路徑，求后來的圖像解析式；（2） 已知后來的圖像解析式以及平移路徑，求原來的圖像解析式；（3） 已知原來的圖像解析式以及后來的圖像解析式，求平移路徑. 本題屬于第二種情形，所以要認真審題，分清情形，不能單純地“左加右減”.

小試身手

1. 如果y=（m-2）xm2-2+3x-5是二次函數，則m的值為_______.

2. 已知函數y=（m+6）x2+2（m-1）x+m+1的圖像與x軸總有交點，則m的取值范圍為_______.

3. 如果函數y=（a-1）x2-6x+5的圖像經過平面直角坐標系的四個象限，那么a的取值范圍是_______.

4. 拋物線y=x2+bx+c的圖像向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖像的解析式為y=x2-2x-3，則b、c的值為（ ）.

A. b=2，c=2 B. b=2，c=0

C. b=-2，c=-1 D. b=-3，c=2

5. 函數y=ax2-（a-2）x+的圖像與x軸有且只有一個交點，求a的值及這個交點坐標.

6. 已知：x1，x2是關于x的方程·x2-（m+1）x+m2+m=0的兩實數根，設S=x2 1+x2 2，當m為何值時S有最小值，最小值是多少？