“二次函數”學習指津

殷學民

“二次函數”是初中數學的重要組成部分、中考必考的內容，往往以基礎題、能力題和拓展題三種層級的形式呈現，壓軸題多涉及二次函數，即使在高中數學中也常出現，為幫助同學們唱好初中函數學習的壓軸大戲，特提供如下建議.

一、 理解二次函數的內涵和本質

與前面學習的一次函數、反比例函數一樣，二次函數也是源自生活的數學模型. 一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，且a≠0）的函數叫做y關于x的二次函數，其中a稱為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項，x為自變量（其取值范圍是一切實數），y為因變量（其取值范圍并非是一切實數）.

注意y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，且a≠0）叫做二次函數的一般式，其等號右邊的自變量的最高次數是2，但 “變量”不等同于“未知數”，不能說“二次函數是指未知數的最高次數為2次的函數”，因為“未知數”只是一個數，“變量”可在一定范圍內任意取值. 當一個函數最高次項是2次且二次項系數不為零即為二次函數.

例1 已知y=mx2+xm+1是關于x的二次函數，求m的值.

【分析】由于解析式中項xm+1的指數沒有確定，且m+1不小于1，題目要求是關于x的二次函數，所以分兩種情況：

① xm+1是二次項，此時二次項系數為m+1，所以m？搖+1=2，m+1≠0，解得m=1；

② xm+1是一次項，此時二次項系數為m，所以m？搖+1=1，m≠0，無解.

綜合上述討論，當m=1時，y=mx2+xm+1是關于x的二次函數.

二、 從平移的角度類比二次函數y=ax2的圖像和性質，理解、牢記二次函數頂點式y=a（x+h）2+k（其中a、h、k為常數，a≠0）的圖像和性質

對某一二次函數，我們確定其中一個變量，就可利用解析式求出另一個變量，從而得到一組解，一組解就是一個點的坐標，而二次函數的圖像就是由無數個這樣的點構成的圖形.

結合具體的二次函數y=ax2、y=ax2+k、y=a（x+h）2、y=a（x+h）2+k（a≠0）在同一平面直角坐標系中圖像形狀和位置，可發現后三者均由y=ax2平移而得. 如果兩個二次函數的二次項系數相同，則它們的拋物線形狀相同，由于頂點不同，所以位置不同，拋物線的平移實質上是頂點的平移. 平移規律是：“左加右減，上加下減”，即

特別提醒：“左加右減”是針對h而言，“上加下減”是針對k而言，如果拋物線是一般形式，應先化為頂點式再平移.

例2 將y=3x2向右平移2個單位，再向下平移1個單位，求平移后的解析式.

解：平移后的函數解析式為y=3（x-2）2-1. 反之將y=3（x-2）2-1逆向平移，向左平移2個單位，再向上平移1個單位就是y=3x2.

因為拋物線平移只改變圖像頂點的坐標，不改變形狀，所以要充分利用拋物線“頂點”的作用.

1. 要能準確靈活求出“頂點”

七、 靈活求解析式

1. 一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0） .

2. 兩根式（也叫交點式）：當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應的一元二次方程ax2+bx+c=0有實數根x1、x2時，根據二次三項式分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），二次函數y=ax2+bx+c可化為兩根式（也叫交點式）y=a（x-x1）（x-x2）.

如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒有交點，則不能這樣表示.

3. 頂點式：y=a（x+h）2+k （a、h、k為常數，a≠0），（-h，k）為拋物線頂點.

說明：（1） 任何一個一般式都可以通過配方法化為頂點式，兩根式展開合并也可以化為一般式，但一般式不一定能化為兩根式，僅當拋物線與x軸有交點時才能化為一般式.

（2） 如拋物線過平面內三點時，可設一般式y=ax2+bx+c，將三點坐標代入，列方程組求解；如已知拋物線的頂點（-h，k），且拋物線過平面內另外一點，則可列頂點式y=a（x+h）2+k，再將另外一點坐標代入求a值即可；如拋物線與x軸交點為（x1，0）和（x2，0），且過平面上另外一點，則可設y=a（x-x1）（x-x2），將另外一點坐標代入求a值即可.

例7 已知拋物線過點A（-1，0）、B（3，0）、C（1，5），求拋物線的解析式.

解法一：直接設y=ax2+bx+c，將點A、B、C坐標代入解析式得到三元一次方程組，解出a、b、c即可.

解法二：觀察發現點A（-1，0）、B（3，0）在x軸上，說明拋物線與x軸有交點A、B，因此可設y=a（x+1）（x-3），再將點C（1，5）代入求出a即可.

解法三：通過進一步觀察發現，A（-1，0）、B（3，0）兩點縱坐標相同，可知A、B兩點為拋物線上關于對稱軸對稱的兩點，所以對稱軸為直線x=1，進一步可知點C（1，5）為拋物線的頂點，故可設y=a（x-1）2+5，然后將點A或B的坐標代入求出a即可.

二次函數總是與其圖像聯系，這也是函數的特點之一，學習二次函數時，一定要注意代數與幾何的聯袂，做到數形結合，在理解的基礎上，強化記憶一些基礎知識和基本技能，這樣在綜合應用時才能游刃有余.

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學教育集團）