微分方程通解法：構(gòu)造輔助函數(shù)之新方法

鄧美玲

摘 要：應(yīng) 用Rolle中值定理證明時，通常需要構(gòu)造輔助函數(shù)，本文提出在其他文獻中還未出現(xiàn)過的微分方程通解法，此法解決題設(shè)只有一個函數(shù)的情況時更清楚簡捷有效.

關(guān)鍵詞： 微分方程通解法 輔助函數(shù) Rolle中值定理

引言

微分中值定理是微分學(xué)的基本理論，解題時構(gòu)造輔助函數(shù)的解法有原函數(shù)法、參數(shù)變異法、常數(shù)K值法、泰勒公式法、微分方程法、利用函數(shù)增量構(gòu)造輔助函數(shù)、湊導(dǎo)法、乘積因子法、觀察法、不定積分法、插值法.實際上在應(yīng)用Rolle中值定理解題時構(gòu)造輔助函數(shù)的方法有很多本質(zhì)是一致的，例如原函數(shù)法、常數(shù)K值法、微分方程法、湊導(dǎo)法、乘積因子法等構(gòu)造輔助函數(shù)的方法都是可以通過在求微分方程的通解的過程中得到輔助函數(shù)，并且這種方法思路清晰，步驟明確，大大提高了解題速度.下面就文[1][4]曾出現(xiàn)過的微分方程法加以改進，加大剖析的力度，得到更實用且更簡便的推廣的新方法——微分方程通解法.

1. 知識準備

結(jié)語

上述例題采用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法均取決于微分方程的通解，故命名為微分方程通解法.此方法使得如何構(gòu)造輔助函數(shù)更清晰.

一般說來，題設(shè)中出現(xiàn)一個函數(shù)，則用羅爾定理或拉格朗日定理，出現(xiàn)兩個函數(shù)用柯西定理.但對于給了兩個函數(shù)的題，可以通過構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，用羅爾定理或拉格朗日定理解題.為突出本文的重點，僅給出題設(shè)為一個函數(shù)情況時采用羅爾定理證明，構(gòu)造輔助函數(shù)的一個新方法，根據(jù)以上討論，對于某些類型的微分中值定理證明題，可以參考以上典型模式.從而可以像套用公式一樣的套用構(gòu)造輔助函數(shù)的模式，使靈活多變的輔助函數(shù)構(gòu)造有章可循.

當然，在利用羅爾中值定理證明時，給出的條件不同，需要證明的結(jié)論不同，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法及技巧可能會有差距，本文的解法比較適用于問題給的是一到兩個點的信息，若給出三個點的信息，則往往可以考慮拉格朗日插值法等其他方法；若是高階微分方程，則可以仿照例3的思路處理，或者用常數(shù)K值法或者用泰勒公式法，等等，本文不再贅述.

參考文獻：

[1] 陳小亙.淺析輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用[J].湛江師范學(xué)院學(xué)報，2009.12.

[2]李國成.利用微分中值定理解題時輔助函數(shù)的構(gòu)造[J].江西教育學(xué)院學(xué)報，2009.12.

[3]張躍 董俊.如何構(gòu)造輔助函數(shù)證明中值等式[J].四川兵工學(xué)報，2008.4.

[4]王順鳳.利用Rolle定理證明時求原函數(shù)的若干方法[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2002.9.

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，1991.

[6]華東師范大學(xué)常微分教研室.常微分方程.第二版[M].北京：高等教育出版社，2005.

[7]李君士.兩個微分中值定理證明中輔助函數(shù)的多種作法[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認識，2004.10.

[8]Simmons，George Finlay.Differential equations：theory，echnique，and practice[M].清華大學(xué)出版社，2009.

此項工作得到國家自然科學(xué)基金（項目批準號： 11301207，11171081），江蘇省自然科學(xué)基金（項目批準號： BK20130411），江蘇省高校自然科學(xué)基金（項目批準號： 13KJB110002） 資助.