關于反對稱矩陣

繆應鐵

摘 要：本文給出了反對稱矩陣的概念，討論了它的行列式、特征值、合同標準形及秩等方面的性質和一些重要結果.

關鍵詞： 反對稱矩陣 行列式 特征多項式 特征值

1.反對稱矩陣的定義

定義1設A是數域F上的n階矩陣，如果A′=-A.稱A為一個n階反對稱矩陣.

2.反對稱矩陣的性質

性質2.1反對稱矩陣的和、差、數乘矩陣仍為反對稱矩陣.

性質2.2奇數階反對稱矩陣的行列式值為0.

性質2.3反對稱實矩陣的特征值是零或純虛數.

性質2.4反對稱矩陣的主對角元素全為零.

性質2.5反對稱矩陣的秩為偶數.

性質2.6反對稱矩陣的行列式為非負實數.

性質2.7設A為反對稱矩陣，則A+E可逆（否則，-1為A的特征值，出現矛盾）.

性質2.8設A為反對稱矩陣，則A合同于矩陣.

性質2.9反對稱矩陣A的特征值為零的充要條件為A=0.

性質2.10設λ是實反對稱矩陣A的特征值，則-λ也是A的特征值.

3.重要結論

參考文獻：

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