高中數學解題中整體思想的應用

陳碧云

摘 要： 整體思想是最常用、最基本的數學思想之一，是研究問題的整體形式、整體結構，并對其進行調節和轉化，使其簡單化的一種方法.它是數學解題的一種重要策略，是提高解題速度的一種重要途徑.

關鍵詞： 整體代入 整體換元 整體構造 整體補形 整體聯想

數學思想是對數學知識與方法構建的規律性的理性認識，是解決數學問題的一種重要策略.數學中的“整體思想”是學生必須掌握一種重要的思想方法之一，整體思想方法是指在研究問題時，從整體出發，對問題的整體形式、結構特征進行綜合分析整體處理的思想方法.它在研究和解決數學問題時，把一些看似彼此獨立而實質有緊密相連的量作為整體考慮.這樣做，不僅可以擺脫固定模式的束縛，使復雜的問題變得簡單、陌生的問題變得熟悉，還往往可以解決按常規方法解決不了的一些問題.它在中學數學的各個方面都有廣泛的應用.本文通過實例談談這種思想在解題中的應用.

一、整體代入

做題時，我們發現有些題目，如果孤立地利用已知條件，問題也許可以得到解決，但解題過程比較復雜；而如果把已知條件看做一個整體，直接或變形以后代入求解，問題就會變得容易很多，解題思路也相對明確.

二、整體換元

有些數學問題看似結構復雜，計算繁難，很難直接求解，但若通過恰當整體換元，把問題作整體變換，問題就會巧妙地化繁為簡，化難為易.整體換元就是通過研究新元性質解決問題.

三、整體構造

整體構造，就是根據已知條件和所求，整體構造相應的式子，通過對兩個式子的聯合研究來解決問題.有些問題直接去求，學生在解題時經常會無從下手，但通過整體構造后，就能迅速得出答案.

例：已知密碼3BCDRST=4RSTBCD，其中每個字母都表示一個十進制數字，試將這個密碼譯成數字形式.

解析：此題有6個未知數，若依次求解，無法達到目的確切，注意到BCDRST與RSTBCD之間的輪換關系，可將BCD與RST視為兩個整體分別設a=BCD，b=RST，

則3（1000a+b）=4（1000b+a），所以428a=571b，

因為a，b為三位數，

所以所求密碼為3571428=4428571.

四、整體補形

整體補形試用于解決數學問題中的非規則圖形、非特殊圖形，在圖形補全后，使原本圖形轉變為完整的特殊圖形.有些題目已知條件僅提供一個局部圖形，擾亂學生的思維，但如果把局部圖形補全，通過對整體圖形的研究，就能突出問題本質，找到簡潔的解法或證法.

例：球面四點O、A、B、C，且OA、OB、OC兩兩垂直，OA=OB=OC=a，求球的半徑？

五、整體聯想

整體聯想就是把已知各個元素聯想到某一性質、定理、公式上等.在數學解題中，有時應發揮聯想，合理構造，把問題簡單化，有利于迅速得出結論.

通過上述數學問題的求解過程與求解方法，我們知道在解決數學問題時，要善于觀察題目特征，把解題注意力和著眼點放在問題整體結構上，通過不斷挖掘、提煉而觸及問題的本質.通過研究問題的整體形式、整體結構或做種種整體處理以后，達到順利而簡捷地解決問題的目的.掌握一種數學的解題方法和思想方法，對于數學邏輯思維能力的培養，具有深遠的意義.在學習活動中培養學生全面思考問題、提出問題、解決問題的意識和合作的學習習慣，并培養學生的推理能力和語言表達能力，發展學生的思維.若在解決數學問題時，不注重整體結構與思維，學生解決能力相對受限，容易被繞在數學問題的圈子，增加數學解題難度，解題效果不佳.在高中數學教學中，學生還應加強數學基礎知識的學習，掌握基礎的數學定理、概念，并能夠對基礎知識進行歸納和總結，從而構建系統、完整的數學知識體系，在使用整體思想解決數學問題的時候，也能靈活運用，取得事半功倍的效果.