高中排列組合問題的變式研究及生活中的應(yīng)用

李萍萍

摘 要： 排列組合問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點(diǎn)，由于題目靈活多樣，解題方法獨(dú)特，有利于訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，解決排列組合問題要將側(cè)重點(diǎn)放在兩個計數(shù)原理的考查上.

關(guān)鍵詞： 排列組合 分類計數(shù)原理 分步計數(shù)原理

一

著名的數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)?shù)剡x擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中，提高他們的才智與推理能力.”基于這一想法，筆者通過對一道典型例題的變式研究，以培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力.

人教版《數(shù)學(xué)》選修2-3第18頁有這樣一道例題：有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？

解決這個問題是很容易的，答案是A . 就這個問題可以引導(dǎo)學(xué)生變換問題條件嘗試設(shè)計一系列新問題.

（一）將送的書變化

將5本不用的書改為相同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？

答案：C.

（二）將送書的方法改變

1.有5本不同的書，全部送給3名同學(xué)，共有多少種不同的送法？

答案：每本書有3種不同的送法，由分步計數(shù)原理，共有3×3×3×3×3=3種不同的送法.

2.有5本不同的書，全部送給3名同學(xué)，每人至少1本，共有多少種不同的送法？

答案：送書的方案有兩種：1人得3本，2人各1本；1人得1本，2人各2本.

故共有C·A+·A種送法.

3.有5本不同的書，全部送給3名同學(xué)，其中至少有1人得2本，共有多少種不同的送法？

答案：由分步計數(shù)原理可分3步：先選人，有C種；再選書，有C種；其余3本書全部給其他2人有2種送法，共有C·C·2種方法.

4.有5本不同的書，全部送給3名同學(xué)，知某個確定的人得2本，共有多少種不同的送法？

答案：這里的某個確定的人是指定某人，得2本什么書不確定，共有C·2.

5，有5本不同的書，全部送給3名同學(xué)，其中要有1人得2本指定的書，共有多少種不同的送法？

答案：共有C·2種方法.

6.有5本不同的書，全部送給3名同學(xué)，已知某人得2本指定的書，共有多少種不同的送法？

答案：已經(jīng)確定某人得2本指定的書，剩下的3本書分給剩余的2人，共有種方法.

（三）將送的書改變，送書的方法也改變

1.有5本相同的書，全部送給3名同學(xué)，共有多少種不同的送法？

答案：由分類計數(shù)原理分三類：

有1人得書：有C種分法.

有2人得書：將5本書分2堆，有2種分法，即4，1和2，3，每種分法送其中2人均有A種送法，故共有C（A+A）種送法.

有3人得書：將5本書分3堆，有2種分法，即2，2，1和3，1，1，每種分法送給3人均有C種送法，共有C+C種送法.

故共有C+C（A+A）+C+C種送法.

2.有5本相同的書，全部送給3名同學(xué)，每人至少1本，共有多少種不同的送法？

答案：相當(dāng)于在5本書的4個間隔中插入2個隔板，形成3堆，有C種送法.

二

在排列組合的問題中，經(jīng)常會碰到很多與體育比賽有關(guān)的問題，我們因為對體育賽事比較陌生，總是會犯一些錯誤.下面結(jié)合一些常見的體育賽制及其對應(yīng)的排列組合問題加以分析.

（一）單循環(huán)賽：就是任何兩方之間都只比賽一次.

（二）雙循環(huán)賽：就是任何兩方之間都要分主、客場兩次比賽.

如：學(xué)校舉行籃球比賽先分甲乙兩組進(jìn)行單循環(huán)賽，甲組各8個隊，乙組6個隊，各組選出前4名后，8個隊進(jìn)行雙循環(huán)賽，共有多少場比賽？

解析：對于甲組，比賽場數(shù)是從8個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)即C=28（場）.

對于乙組，比賽場數(shù)是從6個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)即C=15（場）.

而對于第二階段的比賽，比賽的場數(shù)是從8個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即A=56（場）

故共有C+C+A=99（場）比賽.

（三）淘汰賽：就是每場比賽將直接淘汰一支隊伍（或選手）.

淘汰賽一般比較適合于參賽隊伍（或選手）比較多的比賽，其比賽賽程可以縮短，但這種比賽帶有比較大的偶然性，有時不能客觀地反映出比賽各方的真實實力，容易產(chǎn)生“黑馬”.淘汰賽在一些大型國際比賽中經(jīng)常被采用或部分采用.

如：8名世界網(wǎng)球頂級選手在廣州參加比賽，分成兩組，每組4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名和另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第三名和第四名，比賽共有多少場？

解析：每組單循環(huán)賽共有2C場比賽，每組第一名和另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，有2場比賽，最后角逐冠、亞軍和角逐第三、四名，有2場比賽.

所以共有2C+2+2=16場比賽.

（四）擂臺賽：是一種有著悠久歷史的比賽賽制，目前在圍棋比賽和其他一些帶有古老性質(zhì)的比賽中時有出現(xiàn)，其賽制比較特別，在其他場合出現(xiàn)的不太多，考試涉及較少.

（五）對抗賽：就是雙方的隊員一對一同時進(jìn)行比賽.是考察比賽雙方整體實力的一種賽制，同時是對比賽雙方排兵布陣能力的總體考查.

如：甲隊和乙隊進(jìn)行中國象棋對抗賽，雙方各出5名隊員進(jìn)行比賽，問總共有多少種不同的對陣形勢？

解析：把其中一隊的5名隊員排成一列，第一名隊員可以從另一隊的5名隊員中任選一名對陣，第二名隊員可以從另一隊的剩下的4名隊員中任選一名對陣，以此類推，可得總共有A=120種不同的對陣形式.

排列組合問題聯(lián)系實際，生動有趣，但有時不易掌握，歸根究底，解決問題的關(guān)鍵是加法原理和乘法原理的靈活應(yīng)用，通過多向思考能更好地熟悉和掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈泉.排列、組合問題的類型及解答策略.數(shù)理化解題研究（高中版），2011（05）.