空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

洪建新

摘 要： 高中數(shù)學(xué)新教材增添了“空間向量”這一節(jié)知識(shí)，它是平面向量的延續(xù)和推廣，為我們提供解立體幾何問題的工具性知識(shí).由于空間向量本身具有代數(shù)形式（有序?qū)崝?shù)對(duì)表示）與幾何形式（有向線段表示）的雙重特點(diǎn)（數(shù)形兼?zhèn)洌虼嗽谙蛄恐R(shí)的整個(gè)學(xué)習(xí)過程都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，注重轉(zhuǎn)形為數(shù)，突出數(shù)的運(yùn)算.

關(guān)鍵詞： 立體幾何 空間向量 化繁為簡(jiǎn)

利用空間向量處理立體幾何問題的這種處理辦法就起到了避開復(fù)雜空間想象，將復(fù)雜的邏輯推理轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單機(jī)械的代數(shù)運(yùn)算，克服了輔助線添加所帶來的解題難度等作用，大大簡(jiǎn)化了思維過程，減輕了思維負(fù)擔(dān).可見，利用向量可以把幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化，以數(shù)明形，使向量成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系，成為研究立體幾何的重要工具.

本文舉例研究如何用向量方法解決立幾中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題和求角、距離問題.以此歸納總結(jié)各種題型的解法，強(qiáng)化“向量”的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣.

一、做幾點(diǎn)準(zhǔn)備

1.明確兩個(gè)重要概念

兩條異面直線的方向向量：垂直于兩條異面直線所在直線的方向向量的向量.平面的法向量：表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則向量叫做平面的法向量.法向量是一個(gè)平畫的特征向量，它是處理有關(guān)平面的軸心骨.

2.本文的兩個(gè)定義

本文稱在兩條異面直線上各取一點(diǎn)（當(dāng)然取特殊點(diǎn)）構(gòu)成的向量以為兩條異面直線的斜向量.平面的斜線段所在直線的方向向量叫做平面的斜向量.本文稱用舊教材處理幾何問題的傳統(tǒng)方法為純幾何法，稱用空間向量處理幾何問題的方法為純向量法.

3.利用空間向量處理立體幾何問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

（1）利用空間向量處理立體幾何問題的關(guān)鍵處在于建立空間直角坐標(biāo)系，建系應(yīng)遵循以下兩個(gè)原則：①尋找墻角模型即三條兩兩垂直于同一點(diǎn)的直線.②利用直線垂直于面.以這條直線為z軸，以這個(gè)面內(nèi)互相垂直的兩條直線為x軸和y軸建立空間直角坐標(biāo)系.若有面垂直于面，則通過面垂直于面的性質(zhì)定理即可得到線垂直于面.合理地建立空間直角坐標(biāo)系，是完成從幾何問題向代數(shù)問題轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)，也是難點(diǎn).

（2）建立空間直角坐標(biāo)系后，如何確定各點(diǎn)的坐標(biāo)？常采用化立體為平面的策略即先確定豎坐標(biāo)，然后像平面直角坐標(biāo)系一樣確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).一般有個(gè)別的點(diǎn)比較難求，需要結(jié)合平面的基本知識(shí)（如平行成比例的性質(zhì)）確定.

二、典例剖析，方法透視

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=■，AB=1，M是PB的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值.

證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為

A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1■）.

（Ⅰ）證明：由于■=（0，0，1），■=（0，1，0），故■·■=0，故AP⊥DC.

由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

（Ⅱ）解：由于■=（1，1，0），■=（0，2，-1），

故|■|=■，|■|=■，■·■=2，

cos<■，■>=■=■.

（Ⅲ）解：在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在λ∈R使■=λ■，

■=（1-x，1-y，-z），■=（1，0，-■），∴x=1-λ，y=1，z=■λ

要使AN⊥MC，只需■·■=0，即x-■z=0，解得λ=■.

可知當(dāng)λ=■時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（■，1，■），能使■·■=0

此時(shí)，■=（■，1，■），■=（■，-1，■），有■·■=0.

由■·■=0，■·■=0得AN⊥MC，BN⊥MC.所以∠ANB為所求二面角的平面角.

∵|■|=■，|BN|=■，■·■=-■.

∴cos（■，■）=■=-■，

故所求的二面角為arcos（-■）.

點(diǎn)評(píng)：向量的巧妙之處在于避開作二面角的復(fù)雜過程，求點(diǎn)面距離的難點(diǎn)是作出高線，確定垂足，而此法不要求確定垂足的確切位置就可將距離求出，真正做到了避繁就簡(jiǎn).

總之，用向量知識(shí)求解立體幾何問題不僅簡(jiǎn)潔明了，而且具有一般性.應(yīng)用向量方法解題構(gòu)思新穎，方法簡(jiǎn)單、直觀.它可以不依賴于圖形特征，把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，變抽象的邏輯推理為具體的向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.