數(shù)列中的恒成立問題研究

朱紅林

縱觀近幾年各地的高考試卷，數(shù)列問題始終是一個(gè)熱點(diǎn)，以數(shù)列為載體的恒成立問題，由于涉及的知識(shí)點(diǎn)更綜合，也是數(shù)形結(jié)合、回歸轉(zhuǎn)化思想的集中體現(xiàn)，因此備受命題人青睞.本文試著通過幾個(gè)例子歸納這類問題的常用處理手段及解題時(shí)需要注意的問題.

策略一：直接觀察求最值

例1：等差數(shù)列{a■}中，a■=8，a■=2，設(shè)b■=■（n∈N■），T■為b■的前n項(xiàng)和，是否存在最大的正整數(shù)m，使得對(duì)于任意的n∈N■均有T■>■？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

分析：恒成立問題的本質(zhì)是最值，本題中，T■可以視作一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，因此只要求其最小值即可.而通過觀察單調(diào)性，則是求最值最常見的方法.

解：易得a■=10-2n，而b■=■，

因此由裂項(xiàng)法可以得到：T■=■（1-■）.觀察可得，

T■是關(guān)于n的遞增函數(shù)，故T■的最小值是T■=■，因此■<■成立，即m<8.

又因?yàn)閙∈N■，所以m的最大值為7.

策略二：作差的方法求最值

除了套用常規(guī)求函數(shù)最值的方法，數(shù)列中由于其變量是正整數(shù)這一特殊性，決定了其還具有變通的方法求最值，即通過作差或作商的方法比較a■與a■的大小確定其單調(diào)性.具體來說，當(dāng)a■-a■>0則a■單調(diào)遞增；a■-a■<0則a■單調(diào)遞減.

例2：a■=■，b■=a■·a■，T■為b■的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的自然數(shù)n，存在實(shí)數(shù)T滿足T■≥T成立，求T的最大值.

分析：把T■視作關(guān)于n的一個(gè)函數(shù)，再通過作差研究其單調(diào)性.

解：b■=a■·a■=■·■=■（■-■）

T■=■（■-■+■-■+■-■+…+■-■）

=■（■+■-■-■）

∴T■-T■=■（■-■）>0

{T■}單調(diào)遞增，故（T■）■=T■=■≥T

∴T的最大值為■.

策略三：作商的方法求最值

除了采取作差的方法外，還可以采取作商的方法，即正項(xiàng)數(shù)列滿足■>1，則a■單調(diào)遞增；■<1，則a■單調(diào)遞減.

例3：已知數(shù)列C■≤■m■+m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：C■=（3n-2）（■）■，直接通過觀察法無法確定其單調(diào)性，又由于其中涉及指數(shù)形式，故采取作商研究其單調(diào)性.

解：由■=■=■<1得：n>1，故當(dāng)n≥2時(shí)，C■單調(diào)查遞增，當(dāng)n≥2時(shí)，C■的最大值為C■=■，所以■≤■m■+m-1，解得m≥1或m≤-5.

策略四：分離參數(shù)后求最值

除了上述能夠直接求出最值的情形，更多時(shí)候，所研究的數(shù)列中字母參數(shù)跟主元（通常是n）混在一起，這樣就不容易直接求出最值，便需要通過恒等變形，使參數(shù)跟主元分離，從而轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的值域.

例4：等差數(shù)列{a■}中，a■=1，S■為前n項(xiàng)和，且滿足S■-2S■=n■，n∈N■，

（1）求a■；

（2）b■=3■+（-1）■λ2■（λ為非零常數(shù)），若對(duì)任意正整n，都有b■>b■，求λ的范圍.

分析：易得a■=n，由b■>b■恒成立，可以分離出λ，再利用函數(shù)思想就可以轉(zhuǎn)化為形如“a>f（x）”或“a

解：由b■>b■得：3■+（-1）■2■λ>3■+（-1）■2■λ，化簡(jiǎn)得2·3■>3（-1）■·2■λ.

由于涉及（-1）■，因此需要對(duì)n的奇偶進(jìn)行分類討論.具體如下：

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2·3■>3·2■λ即λ<■（■）■，令f（n）=■（■）■，則f（n）關(guān)于n單調(diào)遞增，

此時(shí)f（n）■=f（1）=1，所以λ<1.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則2·3■>-3·2■λ，即λ>-■（■）■，令g（n）=-■（■）■，則g（n）關(guān)于n單調(diào)遞減，

此時(shí)f（n）■=g（2）=-■，所以λ>-■.

綜上，-■<λ<1.

策略五：分別研究最值

例5：數(shù)列a■首項(xiàng)為-1，（n+1）a■，（n+2）a■，n成等差數(shù)列

（1）若b■=（n+1）a■-n+2，求證：{b■}為等比數(shù)列；

（2）求{a■}的通項(xiàng)公式；

（3）若a■-b■≤kn對(duì)任意的nn∈N■都成立，求實(shí)數(shù)k的范圍。

分析：當(dāng)某個(gè)復(fù)雜的數(shù)列是由兩個(gè)數(shù)列相加的結(jié)果，通常可考慮上述策略，利用觀察法或者作差（作商）等方法對(duì)兩者的單調(diào)性分別進(jìn)行研究，從而得出整個(gè)數(shù)列的最值。

解：（1）（2）略

（3）由（2）可得：a■-b■=■（■）■+■

a■-b■≤kn即：k≥■（■）■+■

記C■=■（■）■，d=■，e■=c■+d■

易知C■隨n的增大而減小

而d■-d■=■，

故n≥5時(shí)，d■

即n≥5時(shí)，e■隨n的增大而減小，

又e■=0，e■=■，e■=■，e■=■，e■=■

故e■e■>e■>e■>…

因此e■=■最大，∴k≥■.

以上總結(jié)了高中數(shù)列恒成立問題中較常見的類型，與函數(shù)的恒成立問題既有相似之處，又由于數(shù)列中變量的特殊性，因此有差別，在分析題目時(shí)應(yīng)靈活結(jié)合數(shù)列單調(diào)性的研究，以便能夠輕松求解。