淺論含有指數(shù)或對數(shù)的方程的根的判斷

李湘 張永亮

摘 要： 方程是初等代數(shù)中最基本的內容之一，它研究事物間的等量關系，并為人們由已知量推求未知量提供方法，在數(shù)學各個分支甚至其他學科中都有著重要作用.本文主要采用初等代數(shù)、數(shù)形結合的方法，研究一些含有指數(shù)或對數(shù)的方程，并對方程的根的情況進行簡單的研究.

關鍵詞： 方程的根 換元 數(shù)形結合

方程是初等代數(shù)中最基本的內容之一，它研究事物間的等量關系，并為人們由已知量推求未知量提供方法，在數(shù)學各個分支甚至其他學科中都有著重要作用.方程的中心問題是求解問題.但是對于方程的求解，人們只知道其中很少的一部分.甚至對于人們公認最簡單的代數(shù)方程，僅僅解決了五次以下的一般求法，而對于五次以上的代數(shù)方程，由年輕的數(shù)學家阿貝爾和伽羅瓦，在前人不努力的基礎上，通過群論，證明了不存在一般的解.既然沒有一般的解，可不可以探求特殊方程的解，甚至只需求出近似解，或只需要判斷解的存在性，以及根的大致范圍.在此，我們看看，簡單的含有指數(shù)或對數(shù)的方程的根的存在性，以及根的范圍.

1.化為簡單的代數(shù)方程來求解

有些方程雖然是超越方程（含有指數(shù)或對數(shù)），但是可以通過換元變?yōu)榇鷶?shù)方程，再利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質求解.

1.1簡單類型的指數(shù)方程

方程f（a■）=0與方程組t=a■f（t）=0同解，也就是通過換元思想，化指數(shù)方程為代數(shù)方程.

例1：解方程7■=343.

解：x■-5x+9=log■343=3，

于是有x■-5x+9=3，

解得x■=2，x■=3即為原方程的解.

例2：解方程4■-3■=3■-2■.

解：原方程可化為2■-■3■=■·3■-0.5·2■，

即■2■=■3■，2■=3■，得（2x-3）lg2=（x-0.5）lg3，

移項，提取公因式得（2x-3）（lg2-0.5·lg3）=0，而lg2≠0.5·lg3，

故x=1.5為原方程的解.

1.2簡單類型的對數(shù)方程

方程f（log■g（x））=0（a>0，a≠1）與方程組t=log■g（x）f（t）=0同解，可以通過換元思想，把對數(shù)方程化為簡單方程.

例3：解方程log■（5+4log■（x-1））=2.

解：令t=5+4log■（x-1），

得log■t=2，根據(jù)對數(shù)定義得t=9，

即5+4log■（x-1）=9，log■（x-1）=1，x-1=3，

得到原方程的解為x=4.

例4：解方程（x+1）■=100（x+1）.

解：方程的定義域是{x|x>-1}，

對兩邊取常用對數(shù)，得lg（x+1）■=lg[100（x+1）]，lg■（1+x）=2+lg（x+1）.

令lg（x+1）=t，則上式可以化為t■-t-2=0，

解得t■=-1，t■=2.

當lg（x+1）=-1時，得x+1=0.1，所以x■=-0.9；

當lg（x+1）=2時，得x+1=100，所以x■=99.

經檢驗，x■，x■都是原方程的根.

注：解對數(shù)方程時，不僅用到同解變形，而且要用到非同解變形，所以在求出根后，一般要進行檢驗.

2.數(shù)形結合求方程的解

數(shù)形結合主要是把方程的解的個數(shù)轉化為函數(shù)圖像的交點的個數(shù)問題，利用數(shù)形結合的思想將抽象的問題直觀化和具體化.

例5：試對實數(shù)m的取值情況，討論關于x的方程|2■-1|=m的根的個數(shù).

圖1

分析：如果去掉絕對值，直接從方程的角度很難入手，而如果利用兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)，則可使問題變得簡單.

解：令f■（x）=|2■-1|，f■（x）=m，在同一個坐標系中畫出其圖像，由圖1可知，

當m≥1或m=0時，兩圖像只有一個交點，原方程有唯一的解；

當0

當m<0時，兩圖像無交點，方程無實數(shù)解.

注：在討論有關方程的根的個數(shù)時，通常把方程問題轉化為函數(shù)圖像交點的問題，而在建立函數(shù)時，一般情況下，一個含有參數(shù)，另一個不含參數(shù)，含參數(shù)的函數(shù)通常是比較簡單的一個，比如本題就是設常數(shù)函數(shù)含有參變量.當然，其他設法也是可以的，可以通過比較看難易程度，進而觀察函數(shù)在隨著參數(shù)變化而運動的過程中交點的個數(shù).

例6：方程log■（x+4）=2■的實數(shù)解的個數(shù)為多少個？

分析：要判斷兩個方程的根，只需要判斷兩個函數(shù)的交點個數(shù)即可.

圖2

解：分別在同一個坐標系中作出y=log■（x+4）與y=2■的圖像.如圖2所示，兩個函數(shù)有兩個交點，故原方程有兩個實數(shù)解.

注：以上兩個例題中，兩個函數(shù)的圖像的相交情況是比較簡單的，只需要作出草圖即可作出判斷.而如果兩個圖像的相交情況比較復雜時，僅僅通過草圖不容易得到交點的，我們還需要用其他方法找交點.

本文只是從比較常見的幾種方程類型出發(fā)，判斷其根的存在性與解法.然而我們所見到的方程遠不止這些，與代數(shù)方程結合起來的非代數(shù)方程數(shù)不勝數(shù)，這要求我們對代數(shù)方程的解法了然于心.所以，在求含有指數(shù)和對數(shù)的方程的解時，我們要有扎實的因式分解基本功.隨著計算機技術的發(fā)展，新課標提出，可以讓學生通過幾何畫板作出一些簡單的函數(shù)圖像，甚至包括超越函數(shù)的圖像，數(shù)形結合，再通過觀察，能夠得到方程的根的個數(shù)及近似解.

參考文獻：

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基金項目：遵義師范學院校級資助項目（13-41）