用黎曼積分的定義求無窮和式的極限

杜超雄

摘 要： 利用定積分的定義求極限是現(xiàn)行數(shù)學(xué)分析教材和高等數(shù)學(xué)教材上無窮和式的極限的計算的一種重要方法，不少參考文獻(xiàn)也著力總結(jié)和歸納該方法.但是，幾乎沒有文獻(xiàn)研究除定積分外的其他黎曼積分對應(yīng)的無窮和式的極限問題.本文著力于從黎曼積分的定義出發(fā)，構(gòu)造相關(guān)的無窮和式極限問題.

關(guān)鍵詞： 黎曼積分 無窮和式 極限

對于無窮和式的極限問題，可以通過先求出無窮和式的表達(dá)式再求極限，但是當(dāng)其無窮和式的表達(dá)式不易求出來時，常常考慮利用定積分的定義計算該類問題.利用定積分的定義求極限是現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析教材和高等數(shù)學(xué)教材上無窮和式的極限的計算的一種重要方法，不少參考文獻(xiàn)（如[1-4]）也著力總結(jié)和歸納該方法.其實(shí)，定積分是黎曼積分的一種，而黎曼積分的定義也是由極限方式給出的.那么，我們是否可以構(gòu)造相應(yīng)的利用黎曼積分的定義進(jìn)行求解的極限問題呢？文獻(xiàn)[5]雖然看到了這一點(diǎn)，但所論述的仍然是利用定積分定義求極限問題.本文試圖在此基礎(chǔ)上作延拓，以供同行在教學(xué)中參閱或者供高校學(xué)生參考.

其實(shí)，對于幾類黎曼積分的定義，均是以無窮和式的極限方式給出.既然如此，一些相關(guān)的無窮和式可以考慮用黎曼積分的定義求解.

1.幾何形體上黎曼積分的統(tǒng)一的定義

當(dāng)然，對于第一類曲線積分和第一類曲面積分而言，其定義也是由極限的方式給出，因此也可以構(gòu)造出一些相關(guān)的無窮和式的習(xí)題，這里不再一一敘述.我們撰寫本文的目的僅僅在于喚起廣大理工科大學(xué)生學(xué)習(xí)積分的興趣，并在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時能夠融會貫通、舉一反三，同時供同行參考.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉濤.定積分的定義在求無窮和式極限中的應(yīng)用[J].中國西部科技，2010，3：86.

[2]徐立峰.定積分極限問題中的三種典型方法及應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011，14（1）：59-62.

[3]丁韞，楊曉春.了解積分—求和[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29（5）：144-147.

[4]康旺強(qiáng).一個積分極限問題的推廣[J].黑龍江科學(xué)，2014，5（4）：172-173.

[5]閆仰奎，董學(xué)碧.黎曼積分與多值函數(shù)的極限[J].山西大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1998，21（2）：107-109.

[6]歐陽光中，等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2008，第三版.

本課題受湖南省教育廳重點(diǎn)科研項目（14A132）和邵陽學(xué)院教改項目（2013JG08）資助.