例談“以進求退”的數學思想方法

崔國虎

一般情況下，在解答數學問題時，通常采用“以退求進”的思想方法，即從“結論”向“條件”后退；從“一般”向“特殊”后退；從“抽象”向“具體”后退；從“綜合”向“單一”后退；從“高維”到“低維”后退的思想方法.但有些問題只用“退”的方法是非常困難，甚至難以解決.這時，如果采用“退”相反的方向——“進”，如：從“特殊”進到“一般”；從“較弱”進到“較強”；從“簡單”進到“復雜”；從“具體”進到“抽象”，再通過對新問題的思考，就會較快地找到解決問題的途徑.這種思考數學問題的方法，我們稱之為“以進求退”.

一、“特殊”進到“一般”

有些數學問題，就其本身的數量關系，直接尋找解題途徑有困難，往往是由于特殊的數（或量）妨礙了人們從一般性去考慮問題所致.不妨采用“特殊”進到“一般”的思想方法，尋求解題的途徑，先從原題的結構特征出發，推廣到一般的情形把問題解決，這樣原題自然就被解決了.

四、從“具體”進到“抽象”

從“具體”進到“抽象”是人們認識問題思維過程的一個飛躍，這一過程的完成標志著對問題的認識進入了創造性的境界，可能探得過去從未有過的新東西.運用這種思想方法來解有關數學命題，也有其獨特的功能.

例4：任給10個不同的兩位數，從中一定可以選出兩組數來，它們之間沒有相同的數，使得其中一組數的和等于另一組數的和.

證明：設這10個兩位數形成一個集合A，則A有2-1=1023個不同的非子集，且每一個子集都由不多于10個兩位數組成，由此可知，每一個子集的元素之和小于10×100=1000.從而，由“抽屜原理”知，必有兩個不同的子集中的元素之和相等.如果這兩個子集中有相同的元素則劃去，所得的和仍然相等，故命題獲證.

上述證法之所以簡潔，是因為把10個不同的兩位數的全體抽象成某一集合，借助于其子集個數及“抽屜原則”便一目了然，否則就無從下手.