排列組合問題的典型類型及其破解策略

汪正文

談到排列組合問題，很多同學望而生畏，如同談虎色變.究其原因：其解法獨特，需要有較強的邏輯思維能力和抽象問題的能力.解決排列組合問題，除了審題清楚，準確分類、合理分步外，還要抓住問題的本質特征，講究策略和方法，使看似陌生而復雜的問題化歸為熟知的類型.下面介紹排列組合中幾種典型的類型及其破解策略.

類型一：特殊元素（位置）問題

對于含有限定條件的排列組合題，破解策略：優先安排特殊（元素）位置，再考慮其他元素和位置，在具體解題時，有時“元素優先”，有時“位置優先”.

例1：安排7名工作人員在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙兩人都不安排在5月1日和5月2日，則不同的安排方法有？搖？搖 ?？搖？搖種.（用數字作答）

類型二：排組混合問題

對于排列組合的混合應用題，破解策略：采取先選取元素，后進行排列，即“先選后排、分步實施法”.

例：從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（？搖？搖）

A.24種？搖？搖B.18種？搖？搖C.12種？搖？搖D.6種

類型五：復雜問題

復雜問題是指在直接法考慮比較難，分類不清或多種的問題，破解策略：先總體考慮再剔除個別，即“正難則反間接法”.“間接法”比較適合處理“至多”、“至少”型問題.

例5：四面體的頂點與各棱的中點共有10個點，在其中取出4個不同的點，則不同的取法有（？搖？搖）

A.150種？搖？搖B.147種？搖？搖C.144種？搖？搖D.141種

解該問題若直接考慮比較復雜，故先從整體考慮再剔除不符合題意的.由10個點取4個點的方法總數為C104種，不符合題意的有：①每個面上的6個點四點共面的有4C64種;②各條棱的中點共6個，其中四點共面的平面有3個;③每條棱的中點與對棱的中點共面，共有面6個.所以符合條件的不共面4點的取法有

對于元素多，選取情況多的問題，破解策略：按要求進行先分類再分步，最后總計，即“分類、分步法”;有些較復雜的問題也可以通過列圖表使其直觀化加以分類即表格法.

例6：有9人組成的籃球隊，其中7人善打前鋒，3人善打后衛，現從中選5人（兩衛三鋒，且鋒分左、中、右，衛分左右）組隊出場，有多少種不同的組隊方法？

解：由題設知，其中有1人既可打鋒又可打衛，則只會鋒的有6人，只會衛的有2人.

除了上述方法外，有時還可以通過設未知數，借助方程解答，簡單一些的問題可采用樹形圖等方法.解此類問題常用的數學思想有：分類討論，轉化和對稱等思想.在解題過程中一定要審明題意、排組分清;合理分類、準確分步;周密思考、防重防漏;一題多解、檢驗真偽、不斷通過解題積累經驗，總結解題規律，掌握求解技巧，最終達到靈活運用.