自動控制原理中一種求解傳遞函數(shù)的簡單方法

趙華芳　許秀蘭

摘 要： 傳遞函數(shù)是自動控制系統(tǒng)中最重要的數(shù)學(xué)模型，可以利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的化簡來求傳遞函數(shù)，但是此種方法比較繁瑣。本文介紹了一種簡單的辦法來求傳遞函數(shù)，即采用梅森公式，利用梅森公式可以大大簡化計算過程，且不容易出錯。

關(guān)鍵詞： 傳遞函數(shù) 梅森公式 結(jié)構(gòu)圖

1.引言

自動控制作為技術(shù)改造和技術(shù)發(fā)展的重要手段，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、國防等很多領(lǐng)域都起著重要作用，尤其是航天制導(dǎo)核能方面，自動控制更是必不可少。自動控制原理基礎(chǔ)是電氣工程及自動化類專業(yè)及相關(guān)專業(yè)的一門必修課程。

2.自動控制原理的特點

該課程理論性較強，且涉及高等數(shù)學(xué)、電工基礎(chǔ)、電子技術(shù)基礎(chǔ)、電機學(xué)和半導(dǎo)體變流技術(shù)等多門課程的基礎(chǔ)知識，因此很多學(xué)生對本門課的興趣不高，不易掌握，在教學(xué)過程中應(yīng)強化概念，弱化理論推導(dǎo)。

3.系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

對系統(tǒng)的分析和研究都依賴于合理的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型既能準確地反映系統(tǒng)的動態(tài)本質(zhì)，又能簡化分析計算的工作。常用的數(shù)學(xué)模型有三種：微分方程、傳遞函數(shù)、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，這三種數(shù)學(xué)模型可以相互轉(zhuǎn)化，由微分方程可以得到傳遞函數(shù)，進而畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。利用結(jié)構(gòu)圖的化簡可以得到傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)是一種非常重要的數(shù)學(xué)模型，我們一般習慣于利用結(jié)構(gòu)圖的化簡求傳遞函數(shù)，但是對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，通常含有多個相互交錯的回環(huán)，利用這種方法求解計算量較大，而且容易出錯。這時我們可以采用一種比較簡單又不易出錯的方法求解，即利用梅森公式：

G（s）=

其中G（s）是系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)，k為前向通路條數(shù)，p為從輸入端到輸出端第條前向通路的總傳遞函數(shù)，△為第條前向通路特征式的余因子，△為信號流圖的特征式。

△=1-∑l+∑ll-∑lll+……

∑l是所有回路的回路增益乘積之和；∑ll是所有任意兩個互不接觸的回路增益乘積之和。

4.例題

例1：如圖所示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，求系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)。

這是一個具有交叉反饋的多回路系統(tǒng)，用結(jié)構(gòu)圖等效變換求解非常麻煩，計算量很大，且容易出錯，這時我們可以利用梅森公式來求解。

解：

該系統(tǒng)的前向通路有一個，即k=1

p=GGGG

回路有4個

l=-GGH

l=-GGH

l=-GGGH

l=GGGGH

因為各回路都互相接觸，所以特征式為：

△=1+GGGH+GGH+GGH-GGGGH

用梅森公式可求得傳遞函數(shù)：

G（s）=

例2：用梅森公式求系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)。

解：

該系統(tǒng)前向通路有兩個，即k=2

p=GGG

p=GG

回路有5個

l=-GGH

l=-GGH

l=-GGG

l=-GG

l=-GH

因為各回路都互相接觸，所以特征式為：

△=1+GGH+GGH+GGG+GG+GG

兩條前向通路與所有回路都接觸，所以兩個余子式為：

△=△=1

代入梅森公式得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

G（s）=

這與用結(jié)構(gòu)圖的等效變換得到的結(jié)果是一致的。

5.結(jié)語

本文介紹了一種求解傳遞函數(shù)的簡單方法，即利用梅森公式，通過兩個例子具體地說明了利用梅森公式求解傳遞函數(shù)的過程。

參考文獻：

[1]孔凡才.自動控制原理與系統(tǒng).北京：機械工業(yè)出版社，2008.

[2]胡壽松，主編.自動控制原理.北京：科學(xué)出版社，2007.

[3]陳鐵牛，主編.自動控制原理.北京：機械工業(yè)出版社，2007.