隨機互補問題的幾類求解模型

劉紅玲

摘 要： 隨機變量的引入，使得互補問題的應用更加廣泛，但也加大了該問題的求解難度，由于隨機因素的存在，隨機互補問題通常情況下無解，但是實際應用中，這類問題又十分重要.鑒于這種情況，學者常常考慮構造一個確定性模型，然后對這個確定性問題進行求解.本文介紹幾種求解隨機互補問題的方法.

關鍵詞： 隨機互補問題 NCP函數 期望

一、相關定義

定義1：隨機互補問題就是求矢量x∈R，滿足：

x≥0，F（x，ω）≥0，（x）（x，ω）=0.（1）

其中F：R→R映射，特殊的，當F是線性映射時，即F（x，ω）=M（ω）x+q（ω），稱上述問題為隨機線性互補問題SLCP，當F是關于x的非線性映射時，稱上述問題為隨機非線性互補問題，簡記為SNCP.

定義2：如果函數Φ：R→R，滿足Φ（a，b）=0？圳a≥0，b≥0，ab=0，那么稱函數Φ為NCP函數.

常用的NCP函數為Fischer-Burmeister（FB）函數：Φ（a，b）=-（a+b）.

二、求解隨機互補問題的幾種模型

（一）期望值模型（EV）：求向量x∈S滿足：

x≥0，E[F（x，ω）]≥0，（x）E[F（x，ω）]=0.（2）

其中E表示關于ω的數學期望.由于E[F（x，ω）]通常情況下很難計算，當不能直接求得其期望值時，人們又提出了很多數值算法求解問題，詳見[1].

（二）期望殘差極小化模型（ERM）：根據NCP函數的定義，式（1）等價于下面的方程組：

Φ（x，ω）=0，ω∈Ω，a.s.

其中Φ：R×Ω→R為：Φ（x，ω）=Φ（x，F（x，ω））Φ（x，F（x，ω）） …Φ（x，F（x，ω））

ERM模型就是使式（1）的期望殘差極小化，也就是將式（1）轉化為下面的確定性約束問題：

ξ（x）=E[||Φ（x，ω）||]（3）

（三）CVaR模型[2]：利用NCP函數構造投資組合優化中的損失函數，給出求解SNCP的條件風險價值模型，進一步利用樣本均值近似方法和光滑化方法給出該模型的近似問題.求解隨機互補問題的風險價值模型如下：

minθ（x，u）=u+（1-α）E[||Φ（x，ω）||-u]（4）

其中[t]=max{t，0}，對任意t∈R，依蒙特卡羅樣本均值近似方法，CVaR模型的近似問題如下：

minθ（x，u）=u+（1-α）∑[||Φ（x，ω）||-u]

事實上，即使F（x，ω）（i=1，2，…，n）是連續可微的，由于[t]的存在，上述優化問題通常不連續可微.為此，我們給出光滑化形式：對于給定光滑參數υ>0，定義：

[t]= t？搖 ？搖？搖t>υ（t+υ）？搖？搖？搖？搖？搖-υ

結合光滑化方法與蒙特卡羅樣本均值近似方法，構造CVaR模型的近似問題為：

minθ（x，u）=u+（1-α）∑[||Φ（x，ω）||-u]（6）

三、總結

隨機互補問題的引入，極大地豐富了互補問題的應用，所以求解此類問題迫在眉睫.本文給出三種求解隨機互補問題的模型，分析出相應的模型的核心思想，為進一步求解隨機互補問題打下堅實的基礎.

參考文獻：

[1]楊少君.一類隨機互補問題算法的研究.西安電子科技大學.中國知網，2011.

[2]申雪瑩.關于隨機互補問題的一類新模型.大連理工大學數學系.中國知網，2012.