論學生數學直覺思維的特點及培養

毛建軍

一、數學直覺概念的界定

簡單地說，數學直覺是具有意識的人腦對數學對象（結構及其關系）的某種直接的領悟和洞察。

1.直覺與直觀、直感的區別

直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上。感覺不久便會變得無能為力。例如，我們仍無法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把干角形作為一個特例包括進來?！庇纱丝梢姡庇X是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說：“這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活生生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所謂‘直覺’……因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。”

2.直覺與邏輯的關系

從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來，人們刻意把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側重角度來看，此話不無道理，但側重并不等于完全，數學邏輯中是否會有直覺成分？數學直覺是否具有邏輯性？比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺，甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數學是對客觀世界的反映，它是人們對生活現象與世界運行的秩序直覺的體現，再以數學的形式將思考的理性過程格式化。數學最初的概念都是基于直覺，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題解決也離不開直覺。下面我就以數學問題的證明為例，考察直覺在證明過程中所起的作用。

一個數學證明可以分解為許多基本運算或許多“演繹推理元素”，一個成功的數學證明是這些基本運算或“演繹推理元素”的一個成功的組合，仿佛是一條從出發點到目的地的通道，一個個基本運算和“演繹推理元素”就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利到達目的地。但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構成一條通道。事實上，出發不久就會遇上岔路口，也就是遇上了正確選擇構成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫出一個成功的數學證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性……這些元素安置的順序比元素本身更重要。笛卡爾認為，在數學推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產生的一種直覺。

二、直覺思維的主要特點

1.簡約性

直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設、猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰地觸及事物的“本質”。

2.創造性

現代社會需要創新型人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多地注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的、發散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規律的獨創性。

伊恩·斯圖加特說“直覺是真正的數學家賴以生存的東西”，許多重大的發現都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公式都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發現苯分子環狀結構更是一個直覺思維的成功典范。

3.自信心

學生對數學產生興趣的原因有兩種，一是教師的人格魅力，二是來自數學本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自于數學本身。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的“自信心”。相比其他的物質獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生強大的學習鉆研動力，從而更相信自己的能力。

三、直覺思維的培養

一個人的數學思維判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”數學直覺是可以通過訓練提高的。

1.扎實的基礎是產生直覺的源泉

直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但絕不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。沒有深厚的功底，是不會迸發出思維火花的。阿提雅說：“一旦你真正感到懂一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其他東西的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗。對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺?！卑⑦_瑪曾風趣地說：“難道一只猴子也能因機遇而打印成整部美國憲法嗎？”

2.滲透數學的哲學觀點及審美觀念

直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建瓴地把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等。例如（a+b）=a+2ab+b，即使沒有學過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結論的真偽。

3.重視解題教學

教學中選擇適當的題目類型，有利于培養、考察學生的直覺思維。例如選擇題，由于只要求從四個選擇中挑選出來，省略解題過程，容許合理猜想，有利于直覺思維的發展。實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案具有發散性，因而有利于直覺思維能力的培養。

4.設置直覺思維的意境和動機誘導

這就要求教師轉變教學觀念，把主動權還給學生。對于學生的大膽設想給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導，消除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感。