不等式證明技巧

吳捷云

摘 ? ?要： 不等式是研究數學問題的重要工具。不等式的證明方法靈活多樣，本文通過實例說明不等式證明的某些技巧。

關鍵詞： 不等式 ? ?證明 ? ?技巧

不等式是研究數學問題的重要工具，它滲透在數學的各個分支學科，有重要的應用。不等式的證明方法靈活多樣，它可以和很多內容相結合，對不等式的證明進行探討無疑是十分有益的。本文通過實例說明不等式證明的某些技巧，提高分析問題與解決問題的能力。

例1：設x，y，z是不全為零的實數，求證：

5x +y +5z >8xz-4xy+4yz.

證明：設二次型f（x，y，z）=5x +y +5z -8xz+4xy-4yz，則f的矩陣是

A=5 ? ? ? 2 ? ?-42 ? ? ? 1 ? ?-2-4 ? ?-2 ? ?5.

因為A的各階順序主子式為：

|5|=5>0;5 ? ?22 ? ?1=1>0; 5 ? ? ?2 ? ?-4 2 ? ? ?1 ? ?-2-4 ? ?-2 ? ?5=1>0;

所以，A正定，從而，二次型f（x，y，z）正定，當x，y，z不全為零時f（x，y，z）>0.即5x +y +5z -8xz+4xy-4yz>0，

因此5x +y +5z >8xz-4xy+4yz.

例2：求證：n x ?≥（ x ） .

證明：令f（x ，x ，…，x ）=n x ?-（ x ） ，則f為二次型，其矩陣為

A=n-1 ? ?-1 ? ?… ? ?-1 ? ? ?-1-1 ? ? n-1 ? ?… ? ?-1 ? ? -1… ? ? … ? ? ?… ? ?… ? ? ?…-1 ? ? -1 ? ? ?… ? ?n-1 ? ?-1-1 ? ? -1 ? ? ?… ? ?-1 ? ? n-1，

將第2，3，…，n列加到第1列，則第1列元素全為零，故|A|=0;用同樣的方法可求出A的i階主子式為（n-i）n >0（i=1，2，…，n-1）.

因為A的主子式都大于或等于零，所以A是半正定的;從而二次型f（x ，x ，…，x ）半正定，所以f（x ，x ，…，x ）≥0，即

n x ?≥（ x ） .

例3：設A，B，C是一個三角形的三個內角，證明對任意實數x，y，z，都有

x +y +z ≥2xycosA+2xzcosB+2yzcosC.

證明：記f（X）=X′AX=x +y +z -2xycosA-2xzcosB-2yzcosC，其中

X=（x，y，z）′，P= ? ?1 ? ? ? -cosA ? ?-cosB-cosA ? ? ? 1 ? ? ? ?-cosC-cosB ? ?-cosC ? ? ? ?1，A+B+C=π，cosC=-cos（A+B）.

對P做初等行變換得：

P～1 ? ?-cosA ? ?-cosB0 ? ? sinA ? ? ?-sinB0 ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ?0，

于是P的特征值為0，1，sinA，從而得二次型f（X）是半正定的，即對于任意實數x，y，z，f（X）≥0，即x +y +z ≥2xycosA+2xzcosB+2yzcosC成立.

例4：設A是實對稱矩陣，其特征根為λ ≤λ ≤…≤λ ，則對任意的實向量X有

λ X′X≤X′AX≤λ X′X.

證明：A是實對稱矩陣，存在正交矩陣T，使

T AT=λ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? λ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ？塤 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?λ ，

于是T AT-λ I特征根非負，即矩陣A-λ I半正定.這樣

X′（A-λ I）X≥0.

因此

X′AX≥λ X′X.

同理可證

X′AX≤λ X′X.

例5：設a ∈R，（i=1，2，…，n）證明：

n（a ?+a ?+…+a ?）≥（a +a +…+a ）

證明：設D=n（a ?+a ?+…+a ?）-（a +a +…+a ） ，只要證D≥0.

由于

D=a ?+a  +…+a ? ? ?a +a +…+a a +a +…+a ? ? ? ? ? ? ? ? n

= a ? ? ?a +a +…+a a ? ? ? ? ? ?   ? n

= ?a ? ? ?a a ? ? 1= ?a a ? ? a 1 ? ?1

所以

D= ?a a ? ? a 1 ? ?1= ?（-a ）a ? ? a 1 ? ?1，

因此

2D=D+D= ?（a -a ）a ? ? -a 1 ? ?1= ?（a -a ） ≥0.

這就證明了D≥0.

參考文獻：

[1]張榮.輔助函數在不等式證明中的應用[J].數學的實踐與認識，2007，37（20）：224-226.

[2]高淑娥.不等式證明中輔助函數的構造[J].甘肅聯合大學學報（自然科學版），2013，27（1）：79-81.

[3]梁波.例談行列式的幾個應用[J].畢節學院學報，2006（04）：27-29.

基金項目：廣東省高等教育特色創新項目（2014GXJK125）