二維隨機變量函數分布教學難點研究

張敏 姜琴

摘 要： 二維隨機變量函數的分布是概率論中的教學難點內容，在教學中，很多教師普遍弱化該章節內容的學習，但是作為二維隨機變量教學內容的重要組成部分，不能忽略該知識點的講解.本文就如何講好二維隨機變量和函數、商函數分布內容談談認識.

關鍵詞： 概率論 二重積分 卷積公式 商分布函數 斜率

在概率論教學中，二維隨機變量函數的分布是教師公認難講的內容，工科類高校對這部分的處理，很多是弱化該內容的教學，甚至不講或少講，或以不是考查重點一筆帶過.筆者認為，該章內容雖然比較難，但是作為隨機變量的重要組成部分，不能忽略知識講解.

在二維隨機變量相關內容的學習中，會用到高等數學中的很多內容，譬如求積分、求級數和、求導數等一系列知識，特別是在求二重積分時，如何確定積分的上下界，成為概率論的教學難點內容.因此在求二維隨機變量在平面區域上概率時，就需要對二重積分的內容進行復習，再進入二維隨機變量和函數和商函數分布的學習，有助于學生知識的銜接，降低學習難度，提高學生的學習積極性.

1.二維隨機變量在某區域上的概率與二重積分

二維隨機變量聯合概率密度函數中有條重要的性質：點（X，Y）落在xoy平面上G區域上的概率為P{（X，Y）∈G}= f（x，y）dxdy，因此求區域上的概率就是求區域上的二重積分，但是在積分時，我們除了要考慮積分區域G的范圍，還要考慮到被積函數f（x，y）可能自身也有范圍要求.

2.回顧區域上的二重積分

在教二維隨機變量函數分布時，會用到大量二重積分的知識.首先要幫助學生回顧二重積分類型和方法，這樣有助于學生知識的銜接，降低學習的難度.二重積分化為兩次定積分的計算的關鍵是確定上下限，上限大于下限，內層積分上下限應為外層積分變量函數，外層的上下限應為常數.

3.和函數卷積公式的運用

除了上述兩種情況外，兩個線段再也沒有交集，z的其他范圍可以不用考慮，因此

4.商分布的教學

在商分布的概率密度函數推導的過程中，學生比較難看得懂，教師也覺得非常不好講解.下面就求解過程詳細分析，根據分布函數定義有

z<0的積分區域 z>0的積分區域

我們可以把Y/X=k看成直線y=kx的斜率，Y/X≤Z？圳K≤z，斜率k小于z（任意給定的實數），那么z的取值有兩種：第一種z<0，如左圖，k0時，如右圖，k0時滿足條件的范圍如右圖所示的區域，也是對于二維隨機變量函數的分布函數的內容，更多的是和高等數學二重積分的內容緊密地聯系在一起，由于學生對二重積分知識的漸忘，不熟悉，不確定，更增加了學習隨機變量函數分布的難度，因此及時回顧相關的高數知識，再配以畫圖分析，幫助確定積分的上下限，可以大大降低知識理解難度，提高學生學習興趣.

參考文獻：

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].（第二版）北京：高等教育出版社，2011.

[2]盛驟.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]劉次華，萬建平.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2005.

此課題為南華大學2013年校級教改課題2013XJG59