平面直角坐標系中三角形面積求法淺析

劉繼承

七年級下學期學習了平面直角坐標系之后，我們會經常遇到在平面直角坐標系中求三角形面積的問題.平面直角坐標系是溝通代數與幾何的橋梁，是數形結合思想方法運用的基礎，此類問題是解析幾何的初步，在中考中甚至是壓軸題中都有涉及，在高中教材中也有拓展.解此類題時，我們要注意解題方法和解題技巧.現舉例說明如下.

一、有一邊在坐標軸上或有一邊與坐標軸平行的三角形

例1：如圖，平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為（-3，0），（0，2），（2，0），你能求出三角形ABC的面積嗎？

分析：根據三個頂點的坐標特征可以看出，△ABC的邊AC在x軸上，由圖形可得AC=5，點B到AC邊的距離就是點B到x軸的距離，也就是B點縱坐標的絕對值2，然后根據三角形的面積公式求解.

解：∵A（-3，0），C（2，0），∴AC=2-（-3）=5.∵B（0，2），∴B點到x軸的距離，即AC邊上的高為2，∴S=×AC×2=5.

例2：如圖1，平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為（-3，1），（0，2），（2，1），你能求出三角形ABC的面積嗎？

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

分析：由A（-3，1），C（2，1）兩點縱坐標相同，可知邊AC與x軸平行，因而AC的長度易求.作AC邊上的高BD，則D點縱坐標與A點縱坐標相同，都是1，這樣可求得線段BD的長，進而可求得三角形ABC的面積.

解：如圖2，作AC邊上的高BD，則D點的縱坐標為1，∴BD=2-1=1，∵A，C兩點的橫坐標相同，∴AC∥x軸，∴AC=2-（-3）=5.∴S=×AC×BD=.

二、有一個頂點在坐標軸上的三角形

例3：如圖1，平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為（-3，0），（-2，-3），（-1，3），你能求出三角形ABC的面積嗎？

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

分析：前面我們已經能解決三角形一邊在坐標軸上或有一邊與坐標軸平行的問題，觀察圖形發現△ABC剛好被x軸分成兩部分，因此△ABC的面積可以看成是兩個一邊在x軸上的三角形面積之和，運用前面提到的方法就能很快解決.

解：如圖2，設BC與x軸的交點為D，∵B（-2，-3），C（-1，3），∴l：y=6x+9，∴D（-，0），∴S=S+S=××3+××3=.

例4：如圖1，平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為（-3，0），（-2，-3），（-1，-2），你能求出三角形ABC的面積嗎？

圖1 ? ? ? ? ?   ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

分析：觀察圖形發現如果延長△ABC的BC邊將會與x軸相交，因此△ABC的面積可以看成是兩個一邊在x軸上的三角形面積之差，用前面提到的方法就能很快解決.

解：如圖2，延長BC交x軸于D，∵B（-2，-3），C（-1，-2），

∴l：y=x-1，

∴D（1，0），

∴S=-S=×4×3+×4×2=2.

三、坐標系內任意三角形

例5：如圖1，平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為（1，3），（3，1），（4，4），你能求出三角形ABC的面積嗎？

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2

分析：觀察圖形發現我們可以用平行于坐標軸的直線分割△ABC，比如過B點作y軸的平行線可以把△ABC分割成兩個三角形，并且這兩個三角形都有一邊與坐標軸平行，從而把此類問題轉化成第一類問題，也就能順利求出△ABC的面積了（也可以過A點作x軸的平行線去分割）.

解：過B點作y軸平行線交AC于D，∵A（1，3），C（4，4），∴l：y=x+，又∵BD∥y軸，B（3，1），∴l：x=3，聯立y=x+x=3

可得D（3，），

∴S=S+S=××2+××1=4.

雖然第二、三類問題看似復雜，但實際上我們都可以轉化為第一類問題來解決，這種轉化的思想是我們解決問題常用的方法之一.掌握這些方法，不僅能解決坐標系中三角形面積的求法，甚至對于坐標系中多邊形的面積也可以轉化成三角形的面積來求，此類問題備受中考命題者青睞，甚至在壓軸題中也時有出現.