高考數學新定義型試題賞析

張漢宇

2015年全國高考數學新定義型試題異彩紛呈，主要體現在新定義的概念，引入新的符號和定義新的運算.這些題在全面考查學生的數學知識、方法及數學思想的基礎上，還著力考查學生的創新研究能力與學習潛力等綜合素質.本文對高考新定義型試題的三種題型進行解析，揭秘其解題策略.

一、定義新的概念

例1.（2015湖北，理6）已知符號函數sgnx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0.f（x）是R上的增函數，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），則（ ? ? ? ?）

A.sgn[g（x）]=sgnx ? ? ? ? ? ? B.sgn[g（x）]=-sgnx

C.sgn[g（x）]=sgn[f（x）] ? ?D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

解析：不妨令f（x）=x+1，a=2，則g（x）=f（x）-f（2x）=-x，則sgn[g（x）]=sgn（-x），排除A;sgn[f（x）]=sgn（x+1）是把x+1與0比較，排除C，D，故選B.

賞析：此題選自高等數學中“符號函數”編擬適合高中生的試題，體現了高等數學與中學數學的和諧美.以高等數學知識為背景，定義一個新函數，要求學生深刻理解新函數的內涵及本質，并能合理遷移運用已學的知識加以解決.此類問題較好地考查了學生的知識遷移能力、轉化能力，開發了學生探究性學習的潛能，是備受高考命題者青睞的題型，例如2009年湖南理科第8題，2008年湖南文科第15題.

二、引入新的符號

例2.（2015山東，文14）定義運算“？茚”：x？茚y=x，y∈R，xy≠0）.當x>0，y>0時，x？茚y+（2y）？茚x的最小值為？搖 ?？搖？搖？搖.

解析：由已知定義可得x？茚y+（2y）？茚x=+=+，利用基本不等式可得x？茚y+（2y）？茚x的最小值為，當且僅當x=y時等號成立.

賞析：在高考試題中引入新的符號，通過定義一種新的運算，考查學生的自學能力和探究能力，而這類題目給中學教師一種啟發，就是在實際教學中要注意培養學生的獨立思考能力及自主探索的能力.

三、定義新的運算

例3.（2015福建卷，理15）一個二元碼是由和組成的數字串x，x…x（n∈N），其中x（k=1，2，…，n）稱為第k位元碼.二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發生元碼錯誤（即元碼由0變為1，或由1變為0）.

已知某種二元碼xx…x的元碼滿足如下校驗方程組：

x？茌x？茌x？茌x=0，x？茌x？茌x？茌x=0，x？茌x？茌x？茌x=0

其中運算定義為：0？茌0=0，0？茌1=1，1？茌0=1，1？茌1=0.

現已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k為發生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于？搖？搖？搖 ?？搖.

解析：將代入校驗方程組依次驗證，發現x有誤，即k=5.

賞析：本題所定義的運算法則實質上是計算機中的二進制運算，引導學生關注生活，注重應用意識，掌握計算機知識已成為現代公民的基本素養，對于新運算應該緊扣新運算法則，通過推導判斷，從而獲得正確的結論.定義一種新的運算，運用新的運算法則展開計算，考查學生現學現用的能力，體現了高考命題指出的“由知識立意向能力立意過渡”的指導思想.2008陜西理科第12題，2011湖南理科第16題均涉及二進制.

解題策略：

首先要對新定義型試題進行信息提取，明確新定義的符號和名稱;

其次仔細品味新定義的概念，運算法則，對新定義型試題所提取出的信息進行加工，探求解決方法，必要時可尋找相近知識點，然后明確他們的共同點及不同點;

最后對新定義型試題中提出的知識進行轉換，有效的輸出，其中對定義信息中的提取和化歸轉化是解此類題的關鍵，也是解題的難點.