探索發現型問題的解題策略

洪三球

1.引言

初中數學中的“探索發現”型試題是需要經過推斷、補充并加以證明的命題，它不像傳統的解答題或證明題，定型于“條件—演繹—結論”這樣一個封閉的模式中。由于命題中缺少一定的題設或未給出明確的結論，因此必須利用題設大膽猜想、分析、比較、歸納、推理，由條件去探索不明確的結論;或由結論去探索未給予的條件;也或者去探索存在的各種可能性及發現所形成的客觀規律.

在近幾年的中考試題中，探索性問題屢屢出現，出題的角度越來越新穎，考察的能力要求越來越高，深受關注.但是，數學探索性問題的出現在一定程度上給學生的解題帶來了諸多困難，也給教師的教學提出了新的挑戰，為此，筆者現就數學探索性問題的解題策略作探討.

2.“探索發現”型問題的解題方法

此類問題由于題型新穎、綜合性強、結構獨特等，一般并無固定解題思路模式，但是可以從以下幾個角度考慮.

2.1利用特殊值（特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規律.

2.2反演推理法，即先假設結論成立，根據假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致.

2.3分類討論法.當命題的題設和結論不唯一，難以統一解答時，則需要按可能出現的情況，分門別類加以討論求解.

2.4類比猜想法，即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法，并加以嚴密論證.

以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時，應更注重數學思想方法的綜合運用.

3.“探索發現”型問題的分類及知識運用舉例

3.1條件探索型：這類題結論明確，需要去探索發現使結論成立的條件.

對應的解題策略有：

（1）模仿分析法.將原的題設和結論視為已知條件，分別進行演繹再有機地結合起來，推導出所需尋求的條件.

（2）設出題目中指定的探索條件，將此假設為已知，結合題設條件列出滿足結論的等量或不等量關系，通過解方程或不等式，求出所需尋找的條件.

例1：已知，如圖△ABC內接于⊙O，（1）當點O與AB有怎樣的位置關系時，∠ACB是直角？（2）在滿足（1）的條件下，過點C作直線交AB于D，當CD與AB有什么樣的關系時，△ABC∽△CBD∽△ACD？（3）畫出符合（1）、（2）題意的兩種圖形，使圖形的CD=2cm.

解析：（1）當點O在AB上（即O為AB的中點）時，∠ACB是直角;

（2）∵∠ACB是直角，∴當CD⊥AB時，△ABC∽△CBD∽△ACD;

（3）作直徑AB為5的⊙O，在AB上取一點D，使AD=1，BD=4，過D點作CD⊥AB交⊙O于C點，連接AC、BC，即為所求（如圖所示）.

評注：本題是一個簡單的幾何條件探索題，它突破了過去“假設—求證”的封閉式論證，而是給出問題的結論，逆求結論成立的條件，強化了對學生通過觀察、分析、猜想、推理、判斷等探索活動的要求.看似平常，實際上非常精彩.

3.2結論探索型：這類題條件已知但無明確結論或結論不唯一，需要探索與條件相對應的結論.

對應的解題策略有：

（1）運用定義或定理直接導出結論;（2）通過具體到抽象，特殊到一般的歸納獲得結論，再給出嚴格證明;（3）通過類比，聯想，猜測出結論，再加以證明.

例2：（2007北京市改編）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.

（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱;

（2）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A.探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論.

解：（1）回答正確的給1分（如平行四邊形、等腰梯形等）.

（2）答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE.

如圖1，作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點.

因為∠DCB=∠EBC=∠A，BC為公共邊，

所以△BCF≌△CBG.所以BF=CG.

因為∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，所以∠BDF=∠BEC.

可證△BDF≌△CEG.所以BD=CE.

所以四邊形DBCE是等邊四邊形.

評注：這是一道以探索結論為目的的開放型試題，它不限結論，而是讓考生根據條件去探索結論.因此，這類考題對開闊視野、啟迪智慧、培養發散思維能力大有好處。

3.3存在探索型：這類問題是指在某種題設條件下，判斷具有某種性質的數學對象是否存在.

解題的策略與方法：先假設數學對象存在，以此為條件進行運算或推理.若無矛盾，說明假設正確，由此得出符合條件的數學對象存在;否則，說明不存在.

例3：（2005年湖北省黃岡改編）如圖在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0）、B（18，6）、C（8，6），四邊形OABC是梯形.點P、Q同時從原點出發，分別做勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動.

（1）求出直線OC的解析式.

（2）設從出發起運動了t秒，當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分？如有可能，請求出的值;如不可能，請說明理由.

分析與解答：（1）設OC的解析式為y=kx，將C（8，6）代入，得k=，∴yx.

（2）易得梯形的周長為44.

①如圖當Q點在OC上時，P運動的路程為，則Q運動的路程為（22-t）.

過Q作QM⊥OA于M，則QM=（22-t）×.

∴S（18+10）×6=84.

假設存在t值，使得P、Q兩點同時平分梯形的周長和面積，

則有t（22-t）×=84×，即t-22t+140=0.

∵△=22-4×140<0，∴這樣的t不存在.

②如圖，當Q點在BC上時，Q走過的路程為（22-t），故CQ的長為：22-t-10=12-t.

∴S=（CQ+OP）AB=×（12-t+t）×6=36≠84×，

∴這樣的t也不存在.

綜上所述，不存在這樣的值，使得P、Q兩點同時平分梯形的周長和面積.

3.4規律探索型：是指在一定的條件下，探索有關數學對象所具有的規律性或不變性的題目.

解題的策略與方法：根據已知條件或所提供的若干個特例，通過觀察、類比、歸納，提示和發現題目所蘊含的本質規律與特征.

例4.（2007四川樂山）如圖（15），在直角坐標系中，已知點P的坐標為（1，0），將線段OP按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP的2倍，得到線段OP;又將線段OP按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為O的2倍，得到線段OP;如此下去，得到線段OP，OP，…，OP（n為正整數）.（1）求點P的坐標;（2）求△POP的面積;（3）我們規定：把點P（x，y）（n=0，1，2，3…）的橫坐標x、縱坐標y都取絕對值后得到的新坐標（|x|，|y|）稱之為點P的“絕對坐標”.根據圖中點P的分布規律，請你猜想點P的“絕對坐標”，并寫出來.

解：（1）（2）略.

（3）由題意知，OP旋轉8次之后回到x軸正半軸，在這8次中，點P分別落在坐標象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點絕對坐標的橫、縱坐標均為非負數，因此，點P的坐標可分三類情況：令旋轉次數為n，

①當n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數），點P落在x軸上，此時，點P的絕對坐標為（2，0）;

②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數），點P落在各象限的平分線上，此時，點P的絕對坐標為（2，2;

③當n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數），點P落在y軸上，此時，點的絕對坐標為（0，2）.

評注：本題從特殊情形入手，通過圖形的變換，尋找數量上的內在規律，頗具新意.

以上四個方面舉例，較全面地討論了開放性與探索性問題求解的基本思路與方法，但由于這類問題的條件或結論的不確定性，使我們解答過程中不能僅從一個思維層面上思考，應該運用發散思維思考問題，探索要從特殊到一般，從感性到理性角度看問題，猜測要大膽，在確定解題思路方向的前提下，敢于采用所學習過的各種數學方法去嘗試，只要這樣訓練，才能適應新中考命題中不斷創新的試題的考試要求.