多元函數的極值與最值

徐秋倉

摘 ? ?要： 本文通過幾個例子的討論說明求多元函數的極值與最值比求一元函數極值與最值要復雜得多，某些一元函數求極值與最值的方法及結論對多元函數并不適用，因此在解題時要特別注意.

關鍵詞： 駐點 ? ?極值 ? ?最值

我們在學習多元函數的微積分學時知道，討論多元函數的微分及其應用時以二元函數為主，因二元以上的函數的微分理論可以由二元函數的微分理論直接類推.一元函數到二元函數則不同，有些知識可以由一元函數的理論直接類推得到，但有些知識從一元函數類推到多元函數會產生新的問題.因而如果用一元函數的一些結論解決多元函數的問題，就會出現錯誤認識.本文就關于求多元函數的極值與最值問題容易出現的錯誤認識做了探討.

判斷一元函數極值點的一般方法是：首先找出函數的駐點和一階導數不存在的點.其次由極值存在的第一充分條件來判斷，若某點左右兩側的導數符號相反，該點一定是極值點.最后再具體判斷出是極小值點還是極大值點，從而求出函數的極值.

求可導的一元函數在閉區間[a，b]上的最值的一般方法是：首先找出函數在區間內的一切駐點（即導數為零的點），然后求出這些駐點和區間端點處的函數值，再進行比較，最大者即為函數的最大值，最小者即為函數的最小值.

關于一元函數的極大值與極小值和最大值與最小值，我們有這樣的命題.

命題一：若函數y=f（x）在區間I（有限或無窮，開或閉）上連續，若y=f（x）在I內兩點x，x（x

命題二：若函數y=f（x）在區間I（有限或無窮，開或閉）上可微，又在I內有唯一駐點x且為極值點，則x就是y=f（x）在區間I上的最值點.

這兩個命題的幾何意義非常明顯，且很容易證明.因此，在學習多元函數的極值和最值的過程中，如果也按一元函數的理論理解上述兩個命題，就很容易產生以下錯誤認識.

（1）若函數z=f（x，y）在閉區域D內可微且有多于兩個極大值（或極小值）點，那么在D內，函數在閉區域D內至少存在一個極小值（極大值）點.

（2）若函數z=f（x，y）在有界閉區域D內可微且有唯一的駐點（x，y）（f（x，y）=f（x，y）=0）且是函數的極大值點（或極小值點），則該點必是函數的最大值點（或最小值點）.

以上結論對多元函數都不成立.

對于錯誤認識（1），我們有這樣的例子.

例1：討論函數z=f（x，y）=（1+e）cosx-ye的極值.

解：函數的定義區域是整個平面.

求駐點，解方程組

f（x，y）=-（1+e）sinx=0f（x，y）=e（cosx-1-y）=0

得無數個駐點（kπ，（-1）-1） ? ?k∈Z，

由f（x，y）=-（1+e）cosx，f（x，y）=-esinx，f（x，y）=e（cosx-2-y）

可知在點（2kπ，0）處：

在點（（2k-1）π，-2）處：

f（（2k-1）π，-2）-f（（2k-1）π，-2）·f（（2k-1）π，-2）=e（1+e）>0，函數無極值.

故可知此函數在全平面上有無窮多個極大值，但沒有極小值.考察此函數的曲面形態，我們會發現，函數在全平面上的無數個極大點對應曲面上無數個小“山包”，任意兩“山包”之間有溝，這些溝都有“斜坡”向下，不能形成“盆地”，故函數沒有極小值.

對于錯誤認識（2），我們討論下例.

例2：設z=f（x，y）=8x+y-xy-8x，D：|x|≤，|y|≤.

解：求駐點，解方程組

f（x，y）=16x-y-24x=0f（x，y）=y-x=0

得兩個駐點（0，0）和，2.但，2不在D內，故在D內僅有唯一駐點（0，0）.

f（x，y）=16-48x ? ?f（x，y）=-1 ? ? f（x，y）=

在（0，0）點處，由f（0，0）-f（0，0）·f（0，0）=-3<0，f（0，0）=16>0，可以判定（0，0）為f（x，y）在D內的唯一極小值點.但可以求出f（x，y）在邊界點，處取得最小值，f，=π-π<0，因此f（0，0）=0并非最小值.

由例2可知z=g（u，v）在全平面上僅有一個駐點（0，0）且在該點處由

g（0，0）=16，g（0，0）=-1，g（0，0）=，

g（0，0）-g（0，0）·g（0，0）<0，g（0，0）=16>0，

可以判定（0，0）為z=g（u，v）在全平面內的唯一極小值點，g（0，0）=0是極小值.但它并不是最小值，如z=g（tan1，tan1）=8-1-8=-<0.顯然函數的最小值不存在，因為全平面是開區域，若有最小值，則一定是內點，是域內的極值點，但前面已證明域內極小值點不是最小值點.觀察這樣函數的曲面模型，我們可以看到顯然在極小值點處可以形成“盆地”，但在它周圍的高地以外有“斜坡”伸延到更低的地方，若區域有界，則最低點就在邊界上.

由以上討論可以看出，多元函數的極值和最值問題要比一元函數的情況復雜得多.即便在有界閉區域的邊界上有限個點的函數值都大于區域內點的函數值，也不能做出區域內必有極小值點的判斷，更不能得出最小值一定在區域內的結論.對極大值也是如此.所以對一般多元函數求最值的方法是首先找出函數在區域內的駐點和邊界上的最值點，然后比較它們的函數值確定函數的最值點.在解決具體的實際問題中，如果根據問題的性質，我們確實可以肯定函數是在區域內部取得最值時，才能利用域內有唯一駐點且是極值點而得出此點即為最值點的結論.

參考文獻：

[1]高等數學.同濟大學數學教研室.高等教研出版社，1982.

[2]錢吉林，等.數學分析題解精粹.崇文書局，2003.