高等數(shù)學(xué)案例式教學(xué)探究

姚偉

摘 ? ?要： 本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟管理學(xué)科的特殊應(yīng)用背景，提出了高等數(shù)學(xué)的案例式教學(xué)法。主要目的在于提高學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，讓高等數(shù)學(xué)能更好地為他們的專業(yè)課程服務(wù)，并介紹數(shù)學(xué)軟件輔助計算，提高學(xué)生的計算能力。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) ? ?案例式教學(xué) ? ?數(shù)學(xué)軟件

一、引言

高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校的基礎(chǔ)學(xué)科，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅為后繼數(shù)學(xué)和專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定必要的理論基礎(chǔ)，而且培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維、邏輯推理能力，并且在培養(yǎng)學(xué)生綜合利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，自主學(xué)習(xí)能力，以及創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力上都具有非常重要的作用。但是一方面由于高等數(shù)學(xué)學(xué)科本身理論性較強，要求學(xué)生有嚴密的邏輯推理能力和很強的運算能力，一直以來給學(xué)生一種抽象、深奧的感覺，使得學(xué)生害怕學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。另一方面，學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中，缺乏運用高等數(shù)學(xué)解決實際問題的環(huán)境，這使他們認為高等數(shù)學(xué)是脫離實際的，學(xué)不好高等數(shù)學(xué)對他們以后的工作、生活沒有任何影響。從而讓很多學(xué)生失去了對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，很多專家學(xué)者做了大量研究，并且提出了很多教學(xué)方式方法。案例式教學(xué)法就是其中之一。案例式教學(xué)是指在課堂教學(xué)中，以實際案例為媒介，將理論教學(xué)與實際相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生運用理論知識解決實際問題的能力，從而引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并且滿足學(xué)生身心發(fā)展的需求。案例式教學(xué)起源于美國哈佛大學(xué)情景案例教學(xué)課，在經(jīng)濟教學(xué)中取得了巨大的成功。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運用案例式教學(xué)法，通過解決實際問題，將抽象的數(shù)學(xué)理論轉(zhuǎn)化為具體的實際問題，讓學(xué)生不再覺得數(shù)學(xué)深奧難懂，克服害怕數(shù)學(xué)的心理障礙，并且在解決實際問題的過程中，讓學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)學(xué)理論知識的作用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。這樣，不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且提高了教師的授課效率。

二、案例式教學(xué)理論

案例式教學(xué)法應(yīng)以學(xué)生為中心的教學(xué)理念為指導(dǎo)。無論是在課前準備教學(xué)，課中課堂教學(xué)，還是課后鞏固練習(xí)，都應(yīng)以滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和培養(yǎng)學(xué)生的思考問題、解決問題的能力為目標。

課前對案例的選取，首先應(yīng)充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，選取的案例應(yīng)符合學(xué)生學(xué)習(xí)狀況，能被學(xué)生接受和認同。其次，應(yīng)熟悉教材內(nèi)容，案例的選取應(yīng)和本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容有較好的關(guān)聯(lián)，能體現(xiàn)本次課的教學(xué)目標，并且在解決案例過程中能用到本節(jié)課所學(xué)習(xí)的理論知識。再次，案例的選取應(yīng)和學(xué)生所學(xué)專業(yè)知識相關(guān)聯(lián)，增強學(xué)生的認同感。同時也應(yīng)提醒學(xué)生預(yù)習(xí)課本，了解相關(guān)的概念。

上課時，第一步：引導(dǎo)學(xué)生理解案例，并提出具有針對性、引導(dǎo)性的問題，引發(fā)學(xué)生的思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。第二步：給學(xué)生講解案例中涉及的數(shù)學(xué)概念及相關(guān)理論知識，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題。第三步：讓學(xué)生以小組為單位，互相討論，在所學(xué)到的理論知識的基礎(chǔ)上提出問題的解決辦法;并讓小組之間相互評價解決辦法的優(yōu)劣。在該過程中，教師應(yīng)恰當引導(dǎo)學(xué)生討論問題的方向，鼓勵學(xué)生提出解決問題的辦法，并嘗試解決問題。第四步：在學(xué)生相互評價之后，教師應(yīng)對學(xué)生所提出的解題思路和方法做出點評，進行歸納、總結(jié)，并給出合理的解決辦法。第五步：對案例進行推廣，列舉類似案例，分析案例解決思路，類比找出共同點，給學(xué)生歸納一般化解決類似案例的思路和方法。

課后，給學(xué)生提出類似的案例問題，鞏固課堂上所學(xué)到的理論知識和思想方法。另外，為了提高學(xué)生動手能力，引起學(xué)生課下研究問題的興趣，可以讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件Matlab、Mathmatica等輔助計算解決問題。

這樣，不僅讓學(xué)生學(xué)會了數(shù)學(xué)理論知識，而且能靈活用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，從而將理論和實際結(jié)合起來，完善課堂教學(xué)的實踐內(nèi)容，為學(xué)生以后走向工作崗位提供了鍛煉機會。

三、具體案例實施

極值和最值，選用案例：一日，走在漓江邊上，看著江水滾滾而過，突然想到一個問題：江水的流速是岸邊的快還是江中間的快呢？

組織學(xué)生測量，得到一組數(shù)據(jù)：附件1。

建立模型：通過數(shù)據(jù)擬合得：v=-0.0091x2+1.3603x-0.1839，其中x是到岸邊的距離，是水流速度。

問題的轉(zhuǎn)化：要說明水流速度最快的位置，這個問題可以轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的最值問題，進而轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的極值。

引入新知識的講解：一元函數(shù)的極值問題：極值點，駐點，極值點與駐點的關(guān)系，求駐點的理論，判斷駐點是否為極值點的方法。

給學(xué)生進行分組，讓他們組內(nèi)互相討論，提出解決問題的思路和方法，并小組之間相互評價解決問題的思路和方法，直觀感受各自思路方法的優(yōu)劣。

做點評和歸納總結(jié)：對學(xué)生提出的解決辦法做出評價，綜合整理，給出該問題的解決辦法。通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零求出駐點x=75.13151，并判定在此處有極大值v=50.91173。可以得出結(jié)論：在河中央，水流速度最快。建議學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件輔助計算，解決問題，同時提供數(shù)學(xué)軟件的計算方法（附件2）作為參考。

案例模型的推廣：經(jīng)濟學(xué)中銷售量多少時利潤最高，工程中用料最省等實際問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的極值問題進行解決。

課后留給學(xué)生思考問題：在經(jīng)濟學(xué)中，利潤和銷量及銷售價格有關(guān)系，并且銷量與銷售價格也是有關(guān)聯(lián)，假設(shè)一件物品，擁有人數(shù)最少為零，擁有人數(shù)最多為人人擁有，試探究當擁有量為多少時，利潤最高？

這樣解決實際生活中的問題，不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且培養(yǎng)了他們實際解決問題的能力。

四、結(jié)語

案例式教學(xué)時在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中加入了實際問題的考慮。它不僅能更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)解決問題的能力，將數(shù)學(xué)和他們的專業(yè)知識緊密結(jié)合在一起，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)在專業(yè)課程中的重要作用。通過對實際問題的處理，學(xué)生不僅掌握了數(shù)學(xué)上的解題、計算，而且學(xué)會了如何運用數(shù)學(xué)知識。最后，介紹Matlab等專業(yè)數(shù)學(xué)軟件是為了讓學(xué)生能更方便快捷地解決實際問題，從繁瑣的數(shù)學(xué)計算中解脫出來，讓數(shù)學(xué)更好地為其專業(yè)服務(wù)。

參考文獻：

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[4]段復(fù)建.微積分[M].北京：科學(xué)出版社，2013.7.

特別感謝桂林理工大學(xué)博文管理學(xué)院教育教學(xué)研究與改革項目（編號為JYJG2013001）及項目負責人何寶珠老師的支持！

附件1：河流測速示意圖：

測量數(shù)據(jù)：

附件2：課堂案例的Matlab計算方法：

clc;clear all

v=xlsread（？謖testdata.xls？謖）;

v=v？謖;

n=length（v）;

d=0：2：2*n-1;

plot（d，v，？謖*？謖）

v1=polyfit（d，v，2）;

v2=polyval（v1，d）;

hold;

plot（d，v2）

syms x;

y=v1（1）*x^2+v1（2）*x+v1（3）;

dy=diff（y，x，1）;

x0=solve（dy）;

x0=double（x0）;

ddy=diff（y，x，2）;

ddy_x0=subs（ddy，x，x0）;

if ddy_x0>0

fprintf（？謖x=%d.水流最慢：%d？謖，x0，subs（y，x，x0））;

elseif ddy_x0<0

fprintf（？謖x=%d.水流最快%d？謖，x0，subs（y，x，x0））;

else fprintf（？謖x=%d.無法判斷極值？謖，x0）;

end