從教材中初探 “建模” 教學(xué)的有效性

張曉凌

摘 要： 通過對(duì)《滬科版》教材的兩輪教學(xué)，將教材中部分精華整理分析，提煉出數(shù)學(xué)方法，充分利用教材內(nèi)容有效建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題；通過建立數(shù)學(xué)模型滲透函數(shù)思想，將建立數(shù)學(xué)模型教學(xué)有機(jī)融入平時(shí)教學(xué)中，突出建立數(shù)學(xué)模型教學(xué)的有效性。

關(guān)鍵詞： 建模教學(xué) 教材 教學(xué)模型

事實(shí)上，自然界事物的發(fā)生、發(fā)展是有規(guī)律的，建立數(shù)學(xué)模型教學(xué)就是按照自然的發(fā)展的規(guī)律進(jìn)行的。那么，初中數(shù)學(xué)教師如何通過教材進(jìn)行“建模”教學(xué)呢？

一、通過提煉教材知識(shí)中的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，達(dá)到事半功倍的教學(xué)收效。

建立數(shù)學(xué)模型教學(xué)在《滬科版》教材中有突出體現(xiàn)。我在教學(xué)中將其整理分析，提煉出數(shù)學(xué)方法，利用第二課堂與學(xué)生們交流探討。

教材八下（2011年12月修訂版）第22頁習(xí)題18.1

第1題的第（3）題：某小組同學(xué)元旦互贈(zèng)賀年卡一張，全組共贈(zèng)賀年卡90張，求這個(gè)小組的同學(xué)數(shù)x.

第1題的第（4）題：一個(gè)小組的同學(xué)元旦見面時(shí)，每兩人都握一次手，所有人共握手10次，求這組同學(xué)數(shù)x.

問題分析：這類問題對(duì)于七、八年級(jí)學(xué)生來講難度較高。如果能在老師的引導(dǎo)下讓學(xué)生通過獨(dú)立思考，得到不同的解決方案，就能使每個(gè)學(xué)生的思維得到不同程度的發(fā)展。這類型題涉及的不僅僅是數(shù)學(xué)建模問題，還有數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和問題解決的方法。這類問題是分類計(jì)數(shù)問題，如何分類？如何計(jì)數(shù)？

將以上問題中的每個(gè)研究對(duì)象用圓周的1個(gè)點(diǎn)表示，多少個(gè)研究對(duì)象就取多少個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)用A■、A■、A■、A■…A■表示。每個(gè)點(diǎn)之間的連線表示問題中“線段”、“賀卡”、“握手”等具體事件。

建模方法一：“生成法”

建模方法二：“對(duì)稱法”

點(diǎn)A■與其他（n-1）個(gè)點(diǎn)分別用線段連接得（n-1）條線段，因?yàn)檫@些點(diǎn)它們的地位對(duì)稱的，所以，總的線段有n（n-1）條線段，而它們每兩點(diǎn)之間連線重復(fù)一條，因此，總的線段有■條線段。

數(shù)學(xué)思想：在這些建模的過程中體現(xiàn)了分類歸納推理的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法。

學(xué)生掌握這個(gè)數(shù)學(xué)模型之后，解決類似問題就非常方便。如問題：

1.由一個(gè)銳角的頂點(diǎn)在其內(nèi)部畫n條射線可得多少個(gè)角？

2.一條鐵路線上有n個(gè)車站要準(zhǔn)備多少種車票？

3.平面內(nèi)有n條直線，最多可以把平面分成多少部分？（用“生成法”較好）

因此，利用教材資源進(jìn)行建立數(shù)學(xué)模型教學(xué)，效果顯著，學(xué)生能觸類旁通。

二、以教材為抓手引導(dǎo)學(xué)生從生活中抽象出函數(shù)模型、建立函數(shù)模型應(yīng)用函數(shù)模型，從而形成函數(shù)思想。

《滬科版》教材以問題為中心進(jìn)行探究模式編排的，突出了建立數(shù)學(xué)模型的過程與用數(shù)學(xué)模型研究數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)問題。例如在函數(shù)教學(xué)中，教材安排《第12章平面直角坐標(biāo)系》作為鋪墊。在引入函數(shù)概念時(shí)，用了三個(gè)經(jīng)典實(shí)際問題進(jìn)行提煉、簡化。最后，抽象出“變量”、“常量”、“自變量”、“因變量”等概念。在建立具體的函數(shù)模型中的教學(xué)中，我重點(diǎn)分析課本中的有生活背景的例題得出數(shù)學(xué)模型的辦法，再研究函數(shù)性質(zhì)。

如分段函數(shù)教學(xué)，教材給出：

例5為節(jié)約用水，某城市制定以下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每戶每月用水不超過8立方米時(shí)，每立方米收取1元外加0.3元的污水處理費(fèi)；超過8立方米時(shí)，超過部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水處理費(fèi)。設(shè)一戶每月用水量為x立方米，應(yīng)繳水費(fèi)y元。

（1）給出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）畫出上述函數(shù)圖像；

（3）該市一戶某月若用水量x=5m■或x=10m■時(shí)，求應(yīng)繳水費(fèi)；

（4）該市一戶某月繳水費(fèi)26.6元，求該戶這月用水量。

本題是生活中的數(shù)學(xué)模型，同學(xué)們感興趣，但解決時(shí)感到棘手。

分析這個(gè)問題時(shí)先從x的取值范圍入手，理清用水量與水價(jià)之間的關(guān)系，再由學(xué)生小組討論用水量與水價(jià)的關(guān)系。這點(diǎn)清楚了問題就沒有了，同時(shí)模型就初步形成了。

為了鞏固這個(gè)函數(shù)模型，教材練習(xí)配了3個(gè)分段函數(shù)的習(xí)題。我在教學(xué)中感到學(xué)生的分段函數(shù)模型的思想還沒有完全形成。于是，我用典型例題進(jìn)行引導(dǎo)：

例題：為了促進(jìn)節(jié)能減排，倡導(dǎo)節(jié)約用電，某市將實(shí)行居民生活用電階梯電價(jià)方案，圖中折線反映了每戶每月用電電費(fèi)y（元）與用電量x（度）間的函數(shù)關(guān)系式.

（1）根據(jù)圖象，階梯電價(jià)方案分為三個(gè)檔次，填寫下表：

（3）求第二檔每月電費(fèi)y（元）與用電量x（度）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）在每月用電量超過230度時(shí)，每多用1度電要比第二檔多付電費(fèi)m元，小剛家某月用電290度，交電費(fèi)153元，求m的值.

分析：

（1）利用函數(shù)圖象可以得出，階梯電價(jià)方案分為三個(gè)檔次，利用橫坐標(biāo)可得出：第二檔，第三檔中x的取值范圍；

（2）根據(jù)第一檔范圍是：0

進(jìn)而得出x=120時(shí)，求出y的值；

（3）設(shè)第二檔每月電費(fèi)y（元）與用電量x（度）之間的函數(shù)關(guān)系式為：

y=ax+c，將（140，63），（230，108）代入得出即可；

（4）分別求出第二、三檔每度電的費(fèi)用，進(jìn)而得出m的值即可.

點(diǎn)評(píng)：本題難度適中，學(xué)生基本會(huì)分析數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行分類討論，加深了對(duì)分段函數(shù)數(shù)學(xué)模型的掌握。

充分利用教材內(nèi)容有效建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題；通過建立數(shù)學(xué)模型滲透函數(shù)思想。將建立數(shù)學(xué)模型教學(xué)有機(jī)融入平時(shí)教學(xué)中，突出了建立數(shù)學(xué)模型教學(xué)的有效性。

建模教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的，也是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)重要途徑。