特殊化策略在數學選擇題中的應用

劉理富

摘 ? ?要： 特殊化策略即視原問題為一般，構造其特殊問題，通過對特殊問題的解決而獲得原同題解決的策略，是數學解題的重要策略之一[1]。為此，通過幾個例題說明特殊化策略在解數學選擇題中的具體運用。

關鍵詞： 特殊化策略 ? ?數學解題 ? ?應用策略

波利亞在“怎樣解題表”中提示我們：當不能解決當前的問題時，你可以先解決一個相關的問題，如更特殊的問題，更簡單的題……

德國著名數學家希爾伯特曾說：“在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用。我們尋找一個答案而未能成功的原因，就在于這樣的事實，即有一些比手頭的問題更簡單、更容易的問題沒有完全解決，這一切都有賴于找出這些比較容易的問題，并且用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來解決它們。”可見，特殊化策略是重要的數學解題策略。

運用特殊化方法，一般需遵循以下兩條基本原則[2]：

（1）若命題在一般條件下成立，則它必在特殊條件下也成立。

（2）若命題在特殊條件下不成立，則它在一般條件下也必不成立。

在數學選擇題中，巧用特殊化策略解題，可以提高解題效率。

下面通過幾個例子具體說明特殊化策略解選擇題中的具體應用。

1.取特殊值

在一些選擇題中，由于答案的唯一性，如果能巧妙地取特殊值，那么就能很快地得出答案。

例1：（2015年江西省小學教師招聘題）若關于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（ ? ?）.

A.k>■ ? ?B.k≥■ ? ?C.k>■，且k≠1 ? ?D.k≥■，且k≠1

分析：此題相對來說比較簡單，一般的方法：只要滿足△>0，且k≠1即可。我們這里考慮取特殊值的方法，根據題意，k≠1，排除選項A和B，然后比較C、D選項，我們可以知道，C、D選擇唯一的區別是k能不能取■，因此只要檢驗特例■即可。

解：因為（k-1）x■+2x-2=0是一元二次方程，所以k≠1。把k=■代入一元二次方程（k-1）x■+2x-2=0中，可知，當k=■時，方程（k-1）x■+2x-2=0有兩個相等的實數根，與題意不符，所以k≠■，故選擇C。

評注：本題的特例值是■和1。在數學解題中，-1，0，1等值往往是特殊值。利用特例值解題時，通常需要我們觀察選項，從選項中找出特殊值，比如本例中的特殊值是通過觀察比較找出來的。

2.取特殊情形（圖形）

有些問題，可能引導你用一般化的方法解題，但是如果你能從特殊的情形或圖形入手，那么問題可能就變得簡單多了。

例2：選擇題（2014年江西省小學教師招聘題）：

如圖1，在△ABC中BD=2DC，AE=BE，已知△ABC的面積是18cm■，那么四邊形AEDC的面積是（ ? ?）cm■.

A.15 ? ?B.12 ? ?C.13 ? ?D.10

圖1

分析：此題給出了三角形的面積及線段比例關系，可以考慮利用線段比例關系找出△ABC與△EBD的面積關系，又已知△ABC的面積從而求出△EBD的面積。四邊形AEDC的面積就會等于△ABC的面積減去△EBD的面積，這是一種常規解法。

注意到，所給定的△ABC是一個一般的三角形，我們可以根據題意構建出一個特殊的三角形，如圖2所示，所構建的三角形為等腰直角三角形。

圖2

解：因為△ABC的面積是18cm■，所以AB=BC=6cm，又因為BD=2DC，AE=BE，所以BE=3cm，BD=4cm，故△EBD的面積為6cm■，所以所求四邊形AEDC的面積為18-6=12cm■，答案是B。

評注：本題根據題意構建特殊三角形（等腰直角三角形），能較快求得正確答案。構建特殊圖形時應當注意：（1）所構建的特殊圖形一定要完全滿足題意;（2）所構建的特殊圖形應當能盡可能地簡化運算。

3.取特殊位置

選擇特例，有時需要突破思維常規，考察極端的特例，往往能夠收到意想不到的效果[3]。

例3選擇題（2014年江西省小學教師招聘題）：

如圖3，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠B=∠D=90°，BE垂直AD于E，已知四邊形ABCD的面積是8cm■，那么BE的長度是（ ? ?）cm■.

A.2 ? ?B.3 ? ?C.2■ ? ?D.2■

圖3

分析：注意到∠B=∠D=90°，所以A、B、C、D四點共圓，AC為圓的直徑。如圖4，我們建立圖形。

圖4

由于A、B、C、D四點都在圓上，AC又是半徑，我們讓D點在弧ADC上運動（通過半徑的調整可以控制四邊形ABCD的面積為8cm■），角D還是會保持是90°。我們先讓D點運動到圖5的位置時，可以明顯可以看到此時為保證四邊形ABCD的面積為8cm■，我們把圓的直徑稍微放大了點，而BE的長度應該是不變的。繼續讓D點運動，當D點運動到圖6的位置時（即C、D重合時，也即特殊位置），四邊形ABCD變成了等腰直角三角形BAC，由于等腰直角三角形BAC的面積為8cm■，因此BE=2■cm，為所求。

圖5

解：如圖6，三角形BAC為等腰直角三角形，且面積為8cm■，所以BE=2■cm，故選擇C。

圖6

評注：本題是利用了特殊化策略解題，根據題意，通過構建新的圖形（圓內接四邊形），控制不變量（面積等），尋找特殊位置，從而求得結果。

通過以上論述可知，特殊化的解題策略雖沒有完整的章法可循，但可得到一些有益的啟示：（1）數學選擇題中，要特別注意比較各個選項，特殊值往往就是在比較選項的過程中找到的;（2）當遇到不能解決的問題時，可以考慮先找出一種使結論顯然成立的情形或更簡單的情形，由此獲得啟示，從而進一步求得問題的解答;（3）應用特殊化的解題策略時，有時需要突破常規思維，考察特殊的位置，這樣往往能夠很快使問題得到解決。

參考文獻：

[1]曾建國.數學解題策略選講[M].黑龍江：哈爾濱工業大學出版社，2010.

[2]王林全，吳有昌.中學數學解題研究[M].北京：科學出版社，2009.

[3]俞宏毓，郭朋桂.例說特殊化的數學解題策略[J]，高等函授學報（自然科學版），2005.

[4]宋文檀.特殊化方法與數學解題[J].榆林高等專科學校報，2000.

[5]方志偉.談特殊化與一般化的解題思維方法[J].自貢師范高等專科學校學報，2000（3）.