函 數 f（x）=x+■（k>0） 的 最 值 及 應 用

陳俊杰

函數f（x）=x+■（k>0） 在高中數學中有著非常廣泛的應用.本文就函數f（x）=x+■（k>0）的圖像，性質，以及其在三角函數等方面的應用進行了探討，這對于訓練高中生的歸納和轉化思想有一定的意義.

一般地，函數f（x）=x+■（k>0） 的圖像如下圖所示.

1. 當x>0時，在區間（0，■]上是減函數；在區間[■，+∞）上是增函數.在x=■時，有最小值2■.當且僅當x=■，即x=■時，f（x） ■=2■.

2. 當x<0時，在區間（-∞， ■]上是增函數；在區間[-■，0）上是減函數.在x=-■時，有最小值-2■.當且僅當x=■，即x=-■時，f（x） ■=-2■.

3. 當x>0時

① 若x∈（0，m]，當m<■時，則f（x） ■=■；當m>■時，則f（x） ■=2■.

②若x∈[m，+∞），當m<■時，則f（x） ■=2■；當m>■時，則f（x） ■=■.

4. 當x<0時

① 若x∈（-∞，m]，當m<-■時，則f（x） ■=■；當m>-■時，則f（x） ■=-2■.

② 若x∈[m，0），當m<-■時，則f（x） ■=-2■；當m>-■時，則f（x） ■=■.

例1：求y=x+■（x≠0）的最值

分析：當x>0時，y=x+■有最小值，當且僅當x=■時，即x=1時，y■=2；當x<0時，y=x+■有最大值，當且僅當x=■時，即x=-1時，y■=-2.

解：當x>0時，且x=■時，即x=1時，y■=f（1）=2；當x<0時，且僅當x=■時，即x=-1時，y■=f（-1）=-2.

例2：求y=■的最值

分析：∵■=■=■+■，且■≥■>0，故當且僅當■=■，即x=±1時，有最小值2■.

解：方法1： ∵■=■=■+■，且■≥■>0，∴■=■，即x=±1時，y■=f（±1）=2■.

方法2：∵■=■=■+■，令■=t（t≥■），∴y=■+t（t≥■），當■=t，即t=■時，當t∈[■， ■]時，f（t）是單調減函數.當t∈[■，+∞]時，f（t）是單調增函數.故當■=t，即t=■時，y■=f（t） ■=f（■）=2■.

例3：擬造一底面積為64平方米，底面為矩形，高為2米的長方體水箱.由于受到空間的限制，底面的長、寬都不能超過10米若造價是每平方米20元（鐵皮的厚度不計）.求解下列問題：

① 試設計水箱的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價.

② 若水箱被隔成七個體積相等的長方體，求出最低造價.

解：①設水箱的底面長為x米，則寬為■米，又設總造價為y■元，則y■=20×2（64+2x+2×■）=2560+80（x+■）.

∵x>0，∴當且僅當x=■，即x=8時，y■=f（8）=3840.

又0

∵8∈[6.4，10]，而y=x+■在[6.4，8]上是單調減函數，在[8，10]上是單調增函數，∴y■=f（8）=3840，當水箱的長和寬都是8米時，造價最低，且最低造價是3840元.

②設水箱的底面長為x米，則寬為■米，又設總造價為y■元，則y■=20×（2×64+2×2x×+2×8×■）=2560+（x+■）.當x=■時，即x=16時，y■取最小值.

但6.4≤x≤10，16？埸[6.4，10]，∵y=x+■在[6.4，10]上是單調減函數，在[6.4，16）上亦為單調減函數.

∴y■=f（10）=2560+80（10+■）=5408，當y■=5408時，x=10，■=6.4.故水箱的長為10米，寬為6.4米時造價最低，且最低造價為5408元.

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