函數中比較大小問題

張艷

函數中有一類常見的題型——比較大小，下面結合2014年江蘇高考數學第19題總結這類題的常見解法，探究這類題的解題規律.

引例：（2014年江蘇第19題）已知函數f（x）=e■+e■，其中e是自然對數的底數.

（1）證明：f（x）是R上的偶函數；

（2）若關于x的不等式mf（x）≤e■+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；

（3）已知正數a滿足：存在x■∈[1，+∞），使得f（x■）

為了解決這個題，先研究以下幾個簡單的問題：

例1：（2013江蘇第21題）已知：a≥b>0，求證：2a■-b■≥2ab■-a■b.

證明：∵2a■-b■-2ab■+a■b=（2a■-2ab■）+（a■b-b■）=2a（a■-b■）+b（a■-b■）

=（a■-b■）（2a+b）=（a+b）（a-b）（2a+b）

又∵a≥b>0，∴a+b>0，a-b≥0，2a+b≥0

∴（a+b）（a-b）（2a+b）≥0

∴2a■-b■-2ab■+a■b≥0

∴2a■-b■≥2ab■-a■b

總結：本題采用的是作差的方法，作差是比較大小最常見的一種方法，特別是有關多項式大小關系問題常用此法.作差后和0比較大小，所以最好將其分解便于判斷符號.對于正數，涉及冪的有時可考慮作商.

例2：（2009年江蘇10）.已知a=■，函數f（x）=a■，若實數m，n滿足f（m）>f（n），則m，n的大小關系為？搖 ？搖.

解：∵a=■∈（0，1），∴函數f（x）=a■在R上遞減.

由f（m）>f（n）得m

總結：本題利用函數的單調性，比較大小是函數的單調性重要應用之一，特別是指數函數、對數函數、冪函數中的比較大小問題.

例3：已知a=5log■■，b=5log■■，c=■log■■，則a，b，c的大小關系是？搖 ？搖.

解：∵log■■>log■■=1，且■<3.4

∴log■■

∵log■■1

∴log■■

∴log■■>log■■>log■■

∵y=5■為增函數，∴5log■■>5log■■>5log■■

即5log■■>5log■■>5log■■，故a>c>b.

總結：如果不好直接比較大小，則可以間接比較，中間量便是其中一種重要的方法，常以0，1，-1為中間量.

例4：（1983年全國）已知a，b為實數，并且eb■.

證明：當eb■，只要證blna>alnb，即只要證■>■.

考慮函數y=■（x>0），因為當x>e時，y′=■<0，所以函數y=■在（e，+∞）內是減函數.

因為e■，即得a■>b■.

總結：通過作差，轉化為函數的最值問題，也是比較大小的一種重要方法.

有了上面的基礎現在再研究2014年高考第19題.

解：（1）、（2）問此處省略

（3）f′（x）=e■-e■，當x>1時f′（x）>0，∴f（x）在（1，+∞）上單調增.

令h（x）=a（-x■+3x），h′（x）=-3ax（x-1）

∵a>0，x>1，∴h′（x）<0，即h（x）在x∈（1，+∞）上單調減.

∵存在x■∈[1，+∞），使得f（x■）

∴f（1）=e+■<2a，即a>■（e+■）

∵ln■=lna■-lne■=（e-1）lna-a+1

設m（a）=（e-1）lna-a+1，則m′（a）=■-1=■，a>■（e+■）

當■（e+■）0，m（a）單調增；

當a>e-1時，m′（a）<0，m（a）單調減.

因此m（a）至多有兩個零點，而m（1）=m（e）=0

∴當a>e時，m（a）<0，a■

當■（e+■）e■；

當a=e時，m（a）=0，a■=e■.

函數中比較大小是一種常見題型.本講通過四道例題一道引例總結了比較大小的四種常見方法：作差、利用函數單調性、中間量、構造函數.