運用面積與等積變換解題初探

周建瑋

面積與等積變換，主要是利用面積公式或等積變換求解或證明有關面積、面積比、面積恒等式，以及有關線段長、線段比等幾何問題，是數學解題的重要方法，也是研究幾何學的有力的工具，在平面幾何問題中，雖然沒有直接涉及面積，然而靈活運用面積與等積變換解決問題，往往會出奇制勝，事半功倍.

一、若把給定的圖形分成若干部分，則被分成的各部分面積之和等于給定圖形的面積

（一）等量關系的證明

例1：求證：等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高線.

解析：如圖（1），連接AD，

則S△ABD+S△ADC=S△ABC

即■AB·ED+■AC·FD=■AC·BH

∵AB=AC

∴ED+DF=BH

（1）

例2：求證：正三角形內任一點到三邊的距離之和等于一邊上的高線.

（2）

解析：如圖（2），

連接AO，BO，CO，

則S△ABO+S△BCO+S△ACO=S△ABC

即■AB·OD+■BC·OE+■AC·OF=■AC·BH

∵AB=AC=BC

∴OD+OE+OF=BH

以上兩題都是通過添加輔助線，得到幾個分圖形，而這幾個分圖形的面積之和等于總面積，然后利用三角形面積公式很容易得到命題的結論.

（二）不等量關系的證明

例3：邊長為K的正△PQR，分別在各邊上取QL=a，LR=b，RM=c，MP=d，PN=e，NQ=f，求證：bc+de+fa

解析：如圖（3），連接NL，LM，MN，則：S△LRM+S△MPN+S△NLM=S△PQR

即：■bcsin60°+■desin60°+■fasin60°<■K■sin60°

∴bc+de+fa

（3）

二、利用等底等高的兩個三角形面積相等來轉化命題結論形式

例4：已知梯形ABCD，AD=1cm，BC=4cm，且對角線AC⊥BD，AC=3cm，BD=4cm，求梯形ABCD的面積.

解析：如圖（4），過點D作AC的平行線交BC的延長線于E

∵AD=CE（平行四邊形對邊相等）

B到AD的距離與D到CE的距離相等（平行線間的距離相等），則S△ABD=S△DCE

故S梯形ABCD=S△DBE

∵3■+4■=5■即BD■+DE■=BE■

∴△DBE為直角三角形

S梯形ABCD=S△DBE=■×3×4=6cm■

（4）

此題利用等底等高的△ABD和△DCE面積相等，巧妙地把梯形ABCD轉化為Rt△DBE，進而利用直角三角形面積公式求得結果.

三、利用兩個等底的三角形面積之比等于它們的高之比，兩個等高的三角形面積之比等于它們的底之比來證題

例5：如圖（5），△ABC的各邊AB，BC，CA上取AD、BE、CF各等于邊的■，求證：S△DEF=■S△ABC.

解析：連接AE，

∵△BED與△ABE同高，且BD=■AB，

∴S△BDE=■S△ABE，

又∵△ABE與△ABC同高，且BE=■BC，

∴S△BDE=■×■SABC=■S△ABC

同理：S△ADF=■S△ABC，S△CEF=■S△ABC，

（5）

S△BDE+S△ADF+S△CEF=■S△ABC

S△DEF=■S△ABC

四、利用相似三角形面積之比等于相似比的平方解題

例6：如圖（6），已知梯形ABCD，AD//BC，對角線BD和AC交于點E，S△AED=a■，S△BEC=b■，求：S梯形ABCD

解析：過點A作AH⊥BD于H，

則AH就是△ABE與△AFD的公共高，

∴■=■，

∵△BEC相似于△AED

（6）

∴■=■=b/a

∴S△ABE=ab

同理：S△DEC=ab

∴S梯形ABCD=a■+b■+ab+ab=（a+b）■

以上列舉了面積與等積變換在解題過程中幾種方法，可見，巧妙運用這幾種方法，可以轉化命題的結論形式，使命題求解過程簡單化.