運用函數定義域教學，強化學生思維嚴密性

嚴戍樓

摘 要： 函數作為整個高中數學教學的主線，函數的定義域、解析式、值域不僅是高考的重點，而且是求解函數的基礎.本文以函數定義域求解函數問題為研究依據，介紹了運用運用函數定義域培養學生的發散性、靈活性、嚴密性思維的辦法.

關鍵詞： 函數定義域 嚴密性 靈活性 發散性

函數教學貫穿整個高中數學的始終，函數定義域是構成函數的主要元素，函數定義域看似比較簡單，如果解決問題時不注意，就會讓人陷入錯誤的思維中[1].思維品質則是指體思維活動中的外部表現形式.學生的思維品質主要表現在思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的發散性等.數學教學中必須重視培養學生透過現象看本質，學會從多個角度思考、分析問題，養成追根究底的好習慣.學生在解題時如果不注意定義域，存在不是忽略定義域或考慮錯誤的現象，致使解題過程中出現形式各樣的錯誤.本文以定義域對強化學生思維品質為研究視角，分析了合理考慮定義域對解題結論的作用與影響.這不僅能提高學生解題能力，而且有利于學生思維品質的發展.

一、函數關系式與定義域

函數定義域就是指這一函數的有效范圍，其關于原點對稱是指它有效值關于原點對稱.對函數關系式進行求解時必須把它的定義域考慮其中，預防求出錯誤的關系式子.

例1：已知函數y=■的定義域為R，求實數a的取值范圍.

分析：函數定義域就是求解函數解析式有意義的自變量取值最大范圍.根據題意可設：x∈R，解析式有意義就是指對于任意x∈R都會有ax■+4ax+3≠0成立，簡言之，就是說方程ax■+4ax+3=0沒有實根成立.進行分類討論，如果a=0時，則3≠0滿足要求；如果a≠0時，則有△=16a■-12a<0，即0

二、函數奇偶性與定義域

函數奇偶性是數學學科的重要知識點，想要判定某函數的定義域是不是關于坐標原點中心對稱，如果該函數的區間關于某坐標原點中心對稱，就說明該函數具有奇偶性.

例2：判斷函數y=x■，x∈[-2，5]的奇偶性.

分析：如果學生求解該函數時不考慮其定義域，那么判斷該函數奇偶性就會出現以下錯誤結論：

∵f（-x）=（-x）■=f（x），∴函數y=x■，x∈[-2，5]是偶函數.學生直接對該函數進行判斷，未把該函數的定義域是不是關于原點成中心對稱考慮其中，從而因學生的疏忽大意導致解題錯誤.由于函數的定義域不關于原點對稱，因此正確答案是此函數是非奇非偶函數.

三、函數單調性與定義域

函數的單調性也被稱為函數的增減性，是對于某個定義區間來說的，如果函數自變量增加，函數值也會因自變量的改變而發生變化，所以對函數的單調性進行研究時必須在定義域區間上進行.

例3：求解函數f（x）=■-■的最大值.

解：f（x）=■-■=■，知f（x）=■-■在其定義域[3，+∞）上為減函數，

∴f（x）=■-■的最大值是f（x）=2.

解題技巧：若解題時，學生并未完全理解掌握函數單調性的相關知識，就不會靈活運用實際做題時，只會套用公式，無法深入理解解題方法.顯然由于變形后使得問題得以簡化，必須把函數定義域考慮其中方可獲取正確答案.

四、運用函數定義域培養學生的思維品質

（一）培養學生的發散性思維

學生的發散性思維是指運用多方面的知識與經驗，從不同角度和方面思考問題的本質.數學思維的發散性主要表現在可以捕捉有效形象，合理運用對比、聯想，對各個數學題目設想不同的解法，即“一題多解”.研究數學問題必須具備邏輯、推理等思維，當然也離不開靈活變通、想象豐富的發散性思維.

例4：求函數y=4x-1+■的值域.

錯誤解法：令t=■，則2=t■+1，∴y=2（t■+1）-1+t=2t■+t+1=2（t+■）■+■≥■，故函數的值域是[■，+∞）.

分析：經過換元之后，可以得到t≥0，此時函數y=2t■+t+1在[0，+∞）上為增函數，所以當t=0時，y■=1，所以求得的函數值域是[1，+∞）.

例5：求解函數y=x+■的值域.

解法1：采用判別式解題：原函數經過變形為：（y-x）■=（2-x）？搖？搖x■-2xy+y■-2+x=0；

關于x的二次方程：x■+（1-2y）？搖？搖x+y■-2=0有解，可得出△=（1-2y）■-4×1×（y■-2）≥0，

解出：y≤■，即函數y的值域是（-∞，■].

解法2：換個思考方式，使用換元法求解，因該函數中存在根號，可以假設t=■（x≤2）？鬯x=2-t■（t≥0）（必須注意t的取值范圍），于是：y=2-t■+t=-（t-■）■+■（t≥0），顯然：若t=■∈（-∞，■].

解題分析：從上述例題可以看出，高中數學教學對于培養學生的發散性思維，一般就是以解決問題為核心，引導學生從多個方面進行分析、觀察、聯想進行解答.換言之，對學生進行逆向思維、橫向思維及一題多解等訓練是培養學生發散性思維的重要手段.同時，解答題目后對求得的答案進行檢驗，有助于學生及時發現解決解題中的失誤，鍛煉學生的批判性思維，提升其思維品質.在教學過程中，為培養學生的批判性思維品質，可以引導學生對自己的解題結果進行檢查，讓他們自己分析發現并解決存在的問題.

（二）培養學生的嚴密性思維

嚴密性思維就是指思考的問題滿足邏輯切準確，數學運算不存在錯誤.在對函數的解析式進行教學時，必須注意函數的定義域和對應法則，因此求函數的解析式時要把所求函數的定義域考慮在內，尤其是求解實際的應用問題，否則求出的函數解析式可能存在錯誤.

例6：在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底鐵皮箱，箱底邊長是多少，箱子的容積最大？計算其最大容積？

解：假設箱底邊長為xcm，則箱高h=■cm，求解箱子的容積為：V（x）=x■h=■.如果本題解到這一步停止，則本題的函數解析式為并未確定其自變量的取值范圍，沒有全面的解答.從另一個角度說明學生解題嚴密性不佳.若該自變量所取的數值是負數或不小于60時，V（x）的值就是負數，此時所求的容積與實際問題互相矛盾，所以必須設定自變量的取值范圍，該函數關系式為：

V（x）=x■h=■（0

由例6可以看出，運用函數解決數學問題的過程中，需要把求解時函數定義域的取值范圍對其產生的影響考慮其中.若忽視定義域的取值范圍，就會讓學生的解題思維缺乏嚴密性，從而導致解題錯誤.實際教學中，老師可以多設計一些有隱含條件的習題，培養學生思維的嚴密性，更好地鍛煉學生的思維.

（三）培養學生的靈活性思維

靈活性思維就是學生可以把已經學到的知識、解題方法舉一反三、靈活使用.數學思維的靈活性則要求學生根據客觀條件的變化及調整固有的思維模式，脫離思維定勢的束縛，從多個方面和角度找尋解決問題的辦法.具有靈活思維的人，可以擺脫固定思維模式的束縛，靈活變通的思考問題.具有靈活思維的人也可以及時發現他人不曾注意的地方，從而深刻地認識這一問題.實際教學中，為鍛煉學生思維的靈活性，老師可以設置以下題目讓他們解答.

例7：求解函數y=3x■-4x+1在[1，4]上的最值.

解：∵y=3x■-4x+1=3（x■-■x）+1=3（x-■）■-■，∴當x=■時，y■=-■.

初看本題的求解，好像只存在最小值并未出現最大值.產生這種錯誤意識的原因是學生頭腦中所形成的二次函數圖像總是一根完整的拋物線，并未注意該函數定義域變化情況.定義域的改變致使函數圖像不再是完整的拋物線.這是呆板性思維的重要表現，說明學生缺少靈活性的思維.其實這個結論只對二次函數y=ax■+bx+c（a>0）在R上使用，如果給定其定義區間為[p，q]，其最值會出現下述情況：

（1）若-■

（2）若-■>q時，f（x）在[p，q]上為單調遞增減函數：f（x）■=f（p），f（x）■=f（q）.

（3）若p≤-■≤q，y=f（x）在[p，q]上的最值的情況.

f（x）■=f（-■）=■，f（x）■=max{f（p），f（q）}.

本題還要繼續解下去：∵■<1，∴y=f（x）=3x■-4x+1在[1，4]上是單調遞增函數，

又f（1）=0，f（4）=33，所以函數y=3x■-4x+1在[1，4]上的最小值為0，最大值是33.

分析錯誤的因素：實際教學中，老師過度重視解題的模式化教學，導致學生形成固定的思維模式，學生根據求解二次函數最值的模式解題，并未注意已知條件已經存在變化.在實際教學中，為培養學生思維的靈活性，必須重視數學教學的變化性，讓學生從多個方面進行分析，并迅速建立自己的思路，達到“舉一反三”靈活運用的效果；讓學生克服某些思維定勢，重視多角度思維模式聯系.學習數學公式時，要求學生把公式的不同變形熟練掌握、靈活應用，這些都有利于培養學生思維的靈活性.

綜上所述，在對函數關系式、值域、單調性、等問題求解時，可以對思維過程進行細致檢查，判斷所求的函數其定義域是否有所變化，會不會影響解題結論，這樣有助于鍛煉學生的質辨能力，從而提高學生的思維品質.

參考文獻：

[1]張文忠.通過函數定義域的教學培養學生思維的嚴密性[J].貴州教育，2012（9）：42-43.