常微分方程數(shù)值方法在運動問題中的應(yīng)用

巨進(jìn)化

摘 要： 針對常微分方程組的解的存在唯一性定理，本文提出了Lipschitz常數(shù)的確定方法.將推導(dǎo)出的三階Runge-Kutta公式應(yīng)用于一維直線運動中速度的計算，分析了步長的變化及待定參數(shù)的變化對整體誤差的影響.對于二維曲線運動的情形，先用解的存在唯一性定理進(jìn)行解的判斷，再用三階Runge-Kutta方法進(jìn)行求解，實驗結(jié)果與實際相符.

關(guān)鍵詞： 解的存在唯一性定理 Lipschitz常數(shù) Runge-Kutta方法 整體誤差

1.引言

空中飛行的物體在運動時會受到重力與空氣阻力的作用，通過受力分析我們可以建立相應(yīng)的常微分方程初值問題.但事實上對于某些情況，比如當(dāng)物體曲線運動時，很難獲得速度關(guān)于時間的解析表達(dá)式.此時我們希望通過尋找高效的數(shù)值方法，從而找到盡可能符合實際的近似值.因此研究常微分方程初值問題的數(shù)值方法十分重要.

常微分方程數(shù)值解可采用導(dǎo)數(shù)化差商的方法，數(shù)值積分法，以及Taylor展開法，通過不同的途徑所得結(jié)果大體一樣.比如顯示Euler方法、改進(jìn)的Euler方法、Runge-Kutta方法[1]等.

本文研究了常微分方程組的解的存在唯一性定理在運動問題中的應(yīng)用，利用三階Runge-Kutta方法對運動問題進(jìn)行數(shù)值實驗，通過誤差分析，證明了該方法的有效性.

2.常微分方程組的解的存在唯一性定理

在常微分方程不能用初等方法求出它的通解時，一方面，我們應(yīng)確定該方程是否有解，如果沒有解，數(shù)值方法的求解將毫無意義.另一方面，如果有解，解是否唯一；如果不唯一，求解是不明確的.下面的解的存在唯一性定理給出了判斷依據(jù).

2.1定理描述

5.結(jié)語

本文將常微分方程組的解的存在唯一性定理及Runge-Kutta數(shù)值方法應(yīng)用于運動問題的計算，取得了較準(zhǔn)確的結(jié)果，如何根據(jù)具體問題調(diào)整待定參數(shù)以獲得較小的誤差沒有特定規(guī)律，需要做進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)：

[1]張平文，李鐵軍.數(shù)值分析.北京：北京大學(xué)出版社，2007.

[2]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程.北京：高等教育出版社，2006.