一道考試題的思考

戴鋒

【摘要】 筆者在本文中由一道考試題展開(kāi)論述，并提出了自己的一些思考。

【關(guān)鍵詞】 考試題 教學(xué)方法 思考

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2015）04-076-01

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一、問(wèn)題的提出：

考試題目：求函數(shù)y=（cosx+1）（sinx+1）的值域。

高一學(xué)生剛學(xué)過(guò)必修4三角函數(shù)的學(xué)生，600人參考，能完全解決該題的只有83人，解答的正確率不高。從學(xué)生的解答情況看，在解答正確的學(xué)生中，大多數(shù)用的換元法解決的，而沒(méi)有解決的學(xué)生基本都能化簡(jiǎn)到y(tǒng)=sinxcosx+sinx+cosx+1（*）。詢問(wèn)做對(duì)的同學(xué)怎么想到解決問(wèn)題的方法時(shí)，他們中大多數(shù)的回答是老師教的，用換元法做。至于為什么這樣做？或者怎么想到這樣做？他們都講不清楚。這值得我們老師反思，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況？

筆者和幾位老師交流，多數(shù)老師在講解該題時(shí)直接告訴學(xué)生用換元法，并沒(méi)有幫學(xué)生分析清楚為什么用換元法。大多數(shù)老師認(rèn)為無(wú)需多啰嗦，這種題只要記得就行了。那這道題可不可以分析一下解法的來(lái)由呢？

二、對(duì)問(wèn)題的幾點(diǎn)思考：

思考一：

函數(shù)（*）式中出現(xiàn)了sinxcosx和sinx+cosx，從次數(shù)上看，sinxcosx是二次，而sinx+cosx是一次，那么函數(shù)（*）就是一個(gè)矛盾的組合體，如何解決這一矛盾呢？我們還得從他們的次數(shù)入手，必須將2個(gè)矛盾的部分統(tǒng)一。是統(tǒng)一成一次還是統(tǒng)一成二次呢？經(jīng)過(guò)推敲，很快可以想到，統(tǒng)一成二次比較方便。只需平方即可，再借助于我們熟知的sin2x+cos2x=1，矛盾可以統(tǒng)一。這一思維過(guò)程的構(gòu)建，就是“換元法”的本質(zhì)所在。

由以上分析，只要抓住主要矛盾，令sinx+cosx=t，平方得到：sinxcosx=t2-12，這樣（*）就變成了一個(gè)二次函數(shù)y=t2-12+t+1，當(dāng)然t的范圍也是一個(gè)小小的坎，只要越過(guò)這個(gè)小小的坎，問(wèn)題就不在話下了。

思考二：

在解題的過(guò)程中，也有不少同學(xué)沒(méi)有想到換元，而是試著把sinx+cosx=2sin（x+π4），將sinxcosx=12sin2x，接下來(lái)就做不下去了。那我們能不能沿著這種思路考慮下去呢？考慮到出現(xiàn)了2個(gè)不同的角x+π4和2x，倘若我們能將這2個(gè)角統(tǒng)一的話就好了。角x+π4和2x有什么關(guān)系呢？有！2x+π4=2x+π2，所以函數(shù)

y=sin2x2+2sinx+π4+1

=-cos2（x+π4）2+2sinx+π4+1

=2sin2x+π4-12+2sinx+π4+1

=sin2x+π4+2sinx+π4+12

下面問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，應(yīng)該不難解決。實(shí)際上，在教學(xué)過(guò)程中，很多教師并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這一“起死回生”的解法，甚至扼殺了讓學(xué)生尋找變量之間關(guān)系的良好機(jī)會(huì)。所以我們老師講解這一題時(shí)，并不一定要逼著學(xué)生往“換元法”上走。以上突破過(guò)程，比固定模式的的換元法更有意義，更能讓學(xué)生留下深刻的印象，也是讓學(xué)生進(jìn)行思維提升的良好素材。

思考三：

以上我們拿到式子后就將式子展開(kāi)，是否一定要展開(kāi)呢？展開(kāi)之前有2個(gè)式子cosx+1和sinx+1，而展開(kāi)后出現(xiàn)了sinx，cosx和sinxcosx三個(gè)式子，變多了。能不能不展開(kāi)直接處理呢？式子中出現(xiàn)了sinx與cosx，它們能否統(tǒng)一成同一個(gè)函數(shù)呢？

我們可以想到萬(wàn)能代換，sinx和cosx這2個(gè)異名函數(shù)都可以統(tǒng)一成tanx2，即

y=2tanx21+tan2x2+11-tan2x21+tan2x2+1=21+tanx221+tan2x22

不難想到，下面可以用求導(dǎo)求函數(shù)的最值，剩下的就是計(jì)算了！

三、對(duì)我們教學(xué)的啟示：

以上三種思考體現(xiàn)了對(duì)同一問(wèn)題的不同視角，貫穿始終的就是化歸思想。

至此，我們冷靜地思考一下平時(shí)的教學(xué)，我們教師是不是講得太多，學(xué)生參與思維的體驗(yàn)太少了？在教學(xué)過(guò)程中如何突顯學(xué)生的主體地位？我們教師如何做一個(gè)出色的組織者，引導(dǎo)者，讓學(xué)生通過(guò)親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程。從而加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中，我們有沒(méi)有在新課程理念的指導(dǎo)下組織教學(xué)。對(duì)于那種“灌輸式”、“填鴨式”教學(xué)，學(xué)生依然是被動(dòng)式接受，學(xué)生并不能從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體會(huì)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而是一種死記硬背式的學(xué)習(xí)，這并不符合建構(gòu)主義的認(rèn)知規(guī)律。這就意味著我們教師要從關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的結(jié)論性向關(guān)注知識(shí)生成的過(guò)程性上轉(zhuǎn)變，教師應(yīng)該通過(guò)合理的數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生在其最近發(fā)展區(qū)感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的生成，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)才能使學(xué)生留下深刻的印象。

作為老師，我們要幫組學(xué)生從“死胡同”里走出來(lái)或者越過(guò)去，這個(gè)過(guò)程需要老師的正確引導(dǎo)，需要師生的共同分析。這一過(guò)程處理得好，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，塑造學(xué)生良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。