直線與圓錐曲線教學之我見

張華偉

直線與圓錐曲線問題一直是學生學習的難點、高考命題的熱點，一方面是題目本身復雜，信息量大、字母符號多、運算過程復雜、轉化思路不明顯；另一方面是學生缺少明確的解題意識，面對這么多的字母符號不知如何下手，找不到方向，出現“想不到”“消不去”和“算不對”現象。因此，筆者在分析學情的基礎上，總結了多年的教學經驗，其中最重要的一條就是：著力提高學生解題意識，樹立學生的自信心。明確的解題意識就像大海中的燈塔，能夠引導學生的解題思路。

解析幾何的核心方法是“用代數方法研究幾何問題”，解析幾何的核心思想是“數形結合”。數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。筆者總結以往教學經驗的基礎上概括出求解直線與圓錐曲線問題的六種意識：（1）幾何條件代數化。（2）代數運算幾何化。（3）一般問題特殊化。（4）最值問題多樣化。（5）去除思維模式化。（6）向量形式坐標化。在教學中，這六種意識如何讓學生真正掌握是個難點，只靠教師的講是無效的，一定要讓學生在解題過程中體驗和反思解題的過程，培養解題意識，因此，我認為在課堂教學中可以嘗試以下四種方式進行教學：

一、在課堂教學中，創設不同的問題情境，樹立學生的解題意識

直線與圓錐曲線問題的求解，最難的就是第一種意識：幾何條件代數化，學生往往不會把題目中的幾何條件轉化成代數關系（一般是坐標表示），為此，筆者在課堂教學中創設不同的問題情境，概括總結出“幾何條件轉化成代數關系”的核心方法，樹立學生的解題轉化意識，幾何條件代數化。

例1.橢圓C： + =1（a>b>0）的離心率為 ，長軸端點與短軸端點間的距離為 。

（I）求橢圓C的方程；

（II）過點D（0，5）的直線l與橢圓C交于兩點E、F；

（i）設B（0，- ），若BE=BF，求直線l的斜率；

（ii）A是橢圓的右頂點，且∠EAF的角平分線是x軸，求直線l的斜率；

（iii）以線段OE、OF為鄰邊作平行四邊形OEFP，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標原點，求O到直線l距離的最小值；

（iv）若以EF為直徑的圓過原點，求直線l的斜率；

（v）點M為直線y= x與該橢圓在第一象限內的交點，平行于OM的直線l交橢圓于A、B兩點，求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。

引導學生概括以上問題的求解過程，填寫下表：

（vi）你還能提出哪些類似問題？

如：①A是橢圓的右頂點，且∠EAF為鈍角，求直線l的斜率的范圍；

②A是橢圓的右頂點，且∠EAF為銳角，求直線l的斜率的范圍；

③A是橢圓的右頂點，且點A在以EF為直徑的圓內，求直線l的斜率的范圍；

④A是橢圓的右頂點，且點A在以EF為直徑的圓外，求直線l的斜率的范圍等。

教學中，要讓學生學會通過分析幾何條件的本質特征，并且選擇適當的代數形式來表示，通常和斜率、中點、距離有關。我們一定要讓學生自己慢慢學會解決問題，提高解題能力。

二、在課堂教學中，突出典型例題的講解過程，培養學生的解題意識

在課堂教學中，滲透數形結合思想、轉化思想、函數與方程思想、特殊與一般思想，剖析典型例題，提煉出蘊涵的解題意識，從意識的層面去剖析原來的解題，比如，分析以下問題求解，找出蘊涵的解題意識。

例2.已知橢圓C： + =1（a>b>0）經過點M（1， ），其離心率為 。

（I）求橢圓C的過程；

（II）設直線l與橢圓C相交于A、B兩點，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標原點，求O到直線l的距離的最小值。

解：（I） + =1（——待定系數法）

（II）（1）當直線l斜率存在時，設y=kx+m，由y=kx+m + =1（用代數方法研究幾何問題）

消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0

Δ=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）>0①

（——幾何條件“直線l與橢圓C相交于A、B兩點”的代數化）

設A、B、P三點的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），則以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB， + = ，（——幾何條件代數化）

x0=x1+x2=- ，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=

由于點P在橢圓C上，所以 + =1

（——代數運算幾何化，找到k、m的關系）

從而 + =1，化簡得4m2=3+4k2，經檢驗滿足①式。

又點O到直線l的距離為

d= = = ≥ =

當且僅當k=0時等號成立。（——代入消元，最值問題多樣化）

（2）當直線l斜率不存在時，由對稱性知，點P一定在x軸上，從而點P為（-2，0）或（2，0），直線l為x=±1，所以點O至直線l的距離為1。

綜上，點O到直線l的距離最小值為 。（——一般情況與特殊情況）

在課堂教學中特別注意強調：

①在課堂教學中，教師一定要讓學生思考，相互交流，要引導學生理解好題意：求什么？知什么？能推什么？在學生給出解題思路的基礎上，做進一步引導和點評，教師點評力求高位，注意學生情緒的調整，培養學生的數學情感。

②在課堂教學中，著力培養學生的解題意識，樹立學生的自信心。要求學生不僅要有很強的綜合知識以及運算能力、分析問題與解決問題的能力，還要有堅強的意志力，只要目標明確，堅持比方法更重要，這將對學生今后成長起到重要作用，這是一個育人的好機會，作為一個好教師，不應失去這樣的機會。

三、在課堂教學中，滲透數學思想和方法，提高學生的解題意識

在課堂教學中，不斷滲透數形結合思想、轉化思想、函數與方程思想、特殊與一般思想，體會解題中包含的運動變化、辯證統一、相互轉化的哲學觀。在解決問題的過程中，體會直線與圓錐曲線的位置關系的判定方法，領悟函數與方程的思想方法；經歷運用圓錐曲線定義與性質解決問題的探索活動，積累如何選擇合適的數學方法解決問題的經驗，逐步培養學生分析問題和解決問題的能力。

在課堂教學中，讓學生感受到數學活動是充滿探索性和創造性的，培養學生對運算的信心和耐心，增強學生利用思維推理獲得成功的信念和面對失敗的承受力，提高學生思維的嚴謹性、深刻性、探索性，幫助學生形成反省的品格，從而提高學生學習數學的興趣。

四、在課堂教學中，加強解題訓練，鞏固學生的解題意識

學生解題意識形成后仍舊會忘記，要在不斷應用中鞏固，教師要提供恰當評估和適當的反饋矯正練習，不斷強化學生的解題意識。

注意發揮學生學習的主體地位，注重解題后的反思，提高元認知能力。解完題并不意味著解題活動的結束，教師應充分利用這個機會，對求解過程進行再分析，進行思維過程的再暴露，解完不思考，無異于入寶山而空返。

總之，在課堂教學中，交叉運用以上四種方式，著力培養學生的解題意識，樹立學生的自信心，學生的解題意識一定會得到提高。

參考文獻：

張琥.直線與圓錐曲線[J].中學數學教學參考：上旬，2012（1-2）.

編輯 張珍珍