初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題的解題策略探討

周航

摘 要：數(shù)學(xué)作為一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的學(xué)科，對初中生的邏輯思維訓(xùn)練與綜合能力培養(yǎng)有十分重要的作用。而動點(diǎn)問題作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個具有代表性的知識板塊，在中考中也極具選拔作用，常與描述量的運(yùn)動變化規(guī)律的函數(shù)結(jié)合在一起，以壓軸題的形式出現(xiàn)。許多考生面對這類問題時會感受手足無措。而在日常的教學(xué)中，教師也困惑于如何向?qū)W生解釋其解法。其實(shí)，只要掌握了與函數(shù)動點(diǎn)問題相關(guān)的解題策略，許多困難便會迎刃而解。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；函數(shù)動點(diǎn)問題；解題策略；教學(xué)方法

動點(diǎn)問題是指與一個或者多個點(diǎn)在一個規(guī)定的區(qū)域內(nèi)移動有關(guān)的問題，并且在點(diǎn)的運(yùn)動過程中一般伴隨著各種量的變化。“動點(diǎn)”分為點(diǎn)的運(yùn)動和線（無數(shù)點(diǎn)組成線）的運(yùn)動，因此動點(diǎn)問題常常與函數(shù)和幾何相聯(lián)系，動點(diǎn)問題一般可以分為動點(diǎn)型問題和動線型問題，而動點(diǎn)型問題包括單動點(diǎn)型問題和雙動點(diǎn)型問題。在動點(diǎn)問題的日常教學(xué)中，可以借助幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件來直觀描述動點(diǎn)的變化以輔助教學(xué)。

一、動點(diǎn)問題特殊化

在近年的中考中，動點(diǎn)問題傾向于通過動點(diǎn)運(yùn)動過程中的某一瞬間的特殊狀態(tài)來明確變量和不變量、建立方程模型，這就是動中求靜，再通過靜止?fàn)顟B(tài)來解決運(yùn)動狀態(tài)的問題。通常會選擇動點(diǎn)運(yùn)動到一個特殊點(diǎn)的狀態(tài)或者是動點(diǎn)運(yùn)動到一個特殊位置形成一個特殊圖形等特殊狀態(tài)。

中考中的壓軸題多與動點(diǎn)問題相關(guān)，常常建立在函數(shù)的基礎(chǔ)上，并與矩形、梯形、相似三角形、全等三角形和直角三角形等圖形間的變化或者圖形的特殊狀態(tài)有關(guān)，綜合性較強(qiáng)，這也要求學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識并將幾何知識和函數(shù)知識聯(lián)系起來。因此，許多考生為這類問題感到困難。筆者認(rèn)為，處理動態(tài)問題的時候，要在解析幾何與函數(shù)的基礎(chǔ)上分析動點(diǎn)的“動靜”關(guān)系，把復(fù)雜的問題簡單化。

二、尋找動點(diǎn)的“靜止”狀態(tài)

在動點(diǎn)問題的提問方式中，題目中已經(jīng)給出確定的信息，存在或者不存在某種特殊狀態(tài)，要求考生對此加以證明或者求出該特殊狀態(tài)下的一些量的關(guān)系等。此時可將動點(diǎn)問題的動態(tài)靜止化，處理滿足條件的特定的某個時間點(diǎn)上的量的關(guān)系。

例如，直線L：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)B、C和D（3，0）。

（1）求直線BD和拋物線的解析式。

（2）若BD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點(diǎn) 的坐標(biāo)。

（3）在拋物線上存在點(diǎn)P使得SΔPBD=6，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：（1）由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式。

（2）首先確定△MCD為等腰直角三角形，因?yàn)椤鰾ND與△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形。

三、幾何畫板演繹動點(diǎn)輔助教學(xué)

也許對于教師來說，求解動態(tài)問題還是相對簡單的，但是在日常的教學(xué)中，如何清楚明白地向?qū)W生解釋動態(tài)問題，是一大難點(diǎn)。因此，信息化的社會也為困擾了教師多年的這個難題提供了一個值得利用的途徑——幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件。根據(jù)相關(guān)調(diào)查顯示，學(xué)生非常喜歡在數(shù)學(xué)課堂上利用幾何畫板來學(xué)習(xí)，用到幾何畫板軟件上的數(shù)學(xué)課的認(rèn)同率高達(dá)100%，而這一認(rèn)同率的原因分析表示90%的被調(diào)查者認(rèn)為幾何畫板引入數(shù)學(xué)教學(xué)中，能使抽象的數(shù)學(xué)知識簡單具體且直觀生動，更容易被接受、理解。由此可以看出，幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件對動點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)的直觀演繹和初中數(shù)學(xué)中動點(diǎn)問題的教學(xué)幫助效果非常好。

參考文獻(xiàn)：

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