架構“導數及其應用”解題體系

蘇霞

高中數學中的“導數及其應用”這一內容的教學，教學分析是這樣的：“導數及其應用”這一部分內容的數學問題解決的“圖式”是由三部分組成：“核心層”是基本類型“圖式”（包括5個基本類型）;核心層之上的“夾層”是常見類型“圖式”（包括若干個常見類型，留有“空位”還可以擴充）;夾層之上的是“外層”（是由化歸與轉化的策略性知識所組成）。總的思路是把重點學習放在“核心層”，然后給學生提供機會使他們學習向著“核心層”的化歸的能力。上述“圖式”可以“圖示”如下：

認為“導數及其應用”這一數學問題的基本類型“圖式”是：

而其中每一個具體類型問題的解決則都是“固化”了的“程序性知識”，我們可以將其歸之為“算法”：

a.求導數→切線斜率→寫出點斜式方程.

b.設切點坐標→寫出切點處得切線方程→將已知點的坐標代入→求出切點→轉化為a.

c.解不等式可得的單增區間;解不等式可得的單減區間.

d.解方程得其根，列表考查在每個根兩側的符號情況，以此求出的極值點.

e.先用d的程序求出的所有極值，再將其與在區間兩端的值比較，得出最大值、最小值.

而“導數及其應用”這一數學問題的常見類型“圖式”包括若干個常見類型，是開放的，留有“空位”還可以擴充：

至于“外層”的化歸與轉化的策略性知識，主要包括：類比遷移（再認→抽象→匹配）;數學表征的等價轉化（也就是“換句話說”）;用“作差法”將兩個函數之間的問題轉化為一個函數的問題來研究;畫一張圖“鳥瞰式”地全局地分析問題;等等。

下面舉一些具體的例子來加以說明：

例1：（2006年全國高考福建卷理科數學）已知函數f（x）=-x2+8x ， g（x）=6lnx+m

（Ⅰ）求f（x）在區間[t，t+1]上的最大值h（t）;

（Ⅱ）是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍;若不存在，說明理由。

分析：可以用“作差法”將（Ⅱ）轉化為常見類型“圖式”中的2。

例2：（2006年全國高考福建卷文科數學）已知是二次函數，不等式的解集是且在區間上的最大值是12。

（I）求的解析式;

（II）是否存在自然數m使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出所有m的值;若不存在，說明理由。

分析：可以用 “畫一張圖”、 類比遷移（再認→抽象→匹配）等策略將（Ⅱ）轉化為常見類型“圖式”中的2。

例3：（2006年全國高考湖北卷理科數學）設x=3是函數的一個極值點。

（Ⅰ）求a與b的關系式（用a表示b），并求的單調區v間;

（Ⅱ）設，。若存在使得成立，求a的取值范圍。

分析：可以用“畫一張圖”以及數學語言的等價轉化策略將“若存在使得成立”轉化為“”再將問題化歸到基本類型“圖式”中的e.

例4：（2007年全國高考卷II理科數學）已知函數f（x）=x3-x

（I）求曲線y=f（x）在點M（t， f（t））處的切線方程

（II）設a>0，如果過點（a， b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：-a

分析：可以利用基本類型“圖式”中的b，以及數學語言的等價轉化策略將問題轉化為“一個關于t的方程有三個根”，再用數學語言的等價轉化策略將（Ⅱ）轉化為常見類型“圖式”中的2。