運動平臺的磁性目標實時定位方法

于振濤，呂俊偉，許素芹，周靜

(1.海軍潛艇學院 航海觀通系，山東青島266001;2.海軍航空工程學院控制工程系，山東 煙臺 264001;3.海軍92474部隊，海南三亞572018)

磁性目標探測是根據武器裝備等磁性目標的磁場特性進行探測、定位和識別的技術，航空磁探潛是磁性目標探測的一個重要軍事應用［1-3］。目前磁性目標探測定位方法有磁場單分量定位方法、磁場三分量定位方法和磁場梯度張量定位方法等。近幾年，磁梯度張量測量逐漸成為磁探技術的研究熱點。美國、德國、澳大利亞等國家相繼研制出一系列磁梯度張量探測儀器系統，并開展了航空探測試驗［4-6］。與其他傳統磁測方法相比，磁梯度張量測量有比較突出的優勢，甚至被認為是磁法勘探的下一次突破［7］。

目前的磁梯度張量定位方法可以分為單測量點定位方法和多測量點定位方法。單測量點磁梯度張量定位方法是通過磁梯度張量值和目標磁場值解算出目標和測量系統的相對位置，其特點是定位速度快、定位精度高，可以實現基于單一測量點的磁性目標定位［8-10］。然而在磁梯度張量定位過程中測得的目標磁場不可避免地會受到地磁場和系統定向誤差的影響，使得目標的探測定位難以實現［11-12］。基于運動平臺的多測量點定位方法利用多空間點的磁梯度張量進行探測定位，可以彌補單測量點定位方法的不足，但是目前基于運動平臺的定位方法需要求解非線性方程組，計算過程復雜，實時性不強［12-13］。

本文根據磁梯度張量定位原理，通過單點磁梯度張量定位算法的微分推導，提出了基于磁場三階張量的目標定位算法，并結合運動平臺探測定位靜止磁性目標的特點，研究了磁梯度張量與磁場三階張量的微分數學關系，提出了基于運動平臺的磁性目標實時定位方法。該方法利用運動平臺3個連續觀測點的磁梯度張量值實現磁性目標的實時探測定位。最后通過仿真實驗對該定位算法進行了驗證，并對仿真結果進行了理論分析。

1 單點磁梯度張量定位原理

1.1 磁梯度張量

磁場是一個矢量場，其三分量Bx、By、Bz在空間3個方向的變化率即為磁梯度張量，包括9個要素，表達式為:

在沒有空間電流密度的觀測區域，磁場的散度和旋度都為0，即

因此磁梯度張量G矩陣具有對稱性，即:

磁梯度張量中的9個要素有5個是獨立的，因此只需要測量5個要素就可以得到磁梯度張量G。

1.2 磁梯度張量測量系統

目前磁梯度張量測量系統結構可以分為平面結構和空間結構，平面結構中的三角形結構為研究熱點。三角形測量系統由3個3軸磁力儀組成，分別位于等邊三角形的3個頂點，如圖1所示。

圖1 三角形磁梯度張量測量系統結構Fig.1 The triangle system of magnetic gradient tensor

根據差分方程，三角形測量系統的磁梯度張量計算公式如下

1.3 磁梯度張量定位算法

當探測距離大于2.5倍的磁性目標長度時，磁性目標可以視為一個磁偶極子［14-15］。在此條件下，距離磁性目標r處的磁場可以表示為［9］

式中:m為磁性目標的磁矩，μ0為真空磁導率，r=為測量點相對磁性目標的距離。

根據歐拉公式可以得到目標的位置信息與磁場矢量B和磁梯度張量G的線性關系［11］:

式(7)為單點磁梯度張量定位算法，已知單一觀測點的目標磁場B和磁梯度張量G可實現磁性目標定位。在實際測量中會受地磁場的影響，由于地磁場的梯度比較小，一般小于0.02 nT/m，其遠遠小于磁性目標磁場的梯度張量，因此磁梯度張量的測量可以不受地磁場的影響。但地磁場會給目標磁場B的測量帶來很大誤差，導致單點磁梯度張量定位方法失效。

目前解決此問題的方法為:將式(6)代入式(7)，得到磁梯度張量G與位置參數r的關系式:

然后利用多個測量點的磁梯度張量，構建關于位置參數的非線性定位方程組，并通過智能優化算法解算位置參數［12-13］。但此方法計算過程復雜，不能實現磁性目標的實時定位。

2 運動平臺實時定位方法

2.1 磁場三階張量定位算法

對單點磁梯度張量定位算法，式(7)求空間導數可得:

設

式中:T為磁梯度張量的空間導數，稱為磁場三階張量，式(10)可以表示為

式(12)為基于磁場三階張量的磁性目標定位公式，即利用單點磁場三階張量T和磁梯度張量G可以實現磁性目標的定位。

2.2 基于運動平臺磁梯度張量儀的定位方法

當載體平臺在平動條件下探測定位靜止磁性目標時，設平臺第i個采樣位置點相對磁性目標的位置參數為ri，由于磁梯度張量G和磁場三階張量T為位置參數r的函數，因此平臺第i個采樣位置點的磁梯度張量值和磁場三階張量值可以表示為G(ri)和T(ri)。根據磁傳感器的采樣頻率和載體平臺的運動速度可知，對于常規探測距離滿足平臺采樣間隔位移遠遠小于其相對目標的位移，即由于磁場三階張量T(ri)為磁梯度張量G(ri)的空間導數，因此3個連續采樣點存在以下關系式:

上式等式兩邊分別右點乘ri可得:

根據磁場三階張量T的對稱性，通過張量運算上式可以表示為

根據式(12)可知:

將式(16)代入式(15)，得:

式(17)為基于運動平臺磁梯度張量儀的磁性目標實時定位算法。式中G(ri－1)、G(ri)和G(ri+1)為磁梯度張量儀3個連續采樣點的測量值;(ri+1－ri－1)為i－1 點到i+1 點的平臺位移，(ri+1－ri－1)=2Δr，其值可以由平臺的導航系統提供。當載體平臺勻速平動時，采樣間隔位移Δr為定值，定位式(17)可表示為

該定位算法利用載體平臺的3個連續磁梯度張量測量值和載體平臺的平動參數，可實時求出載體平臺相對磁性目標的位置，進而實現對磁性目標的定位。目前基于磁梯度張量的目標定位方法為利用多測量點的磁梯度張量值，通過優化算法求解非線性方程組實現目標定位，此計算過程復雜，定位速度慢，實時性不強。而本文提出的實時定位方法計算過程簡潔，不需要求解非線性方程組，可以實現磁性目標的實時探測定位。

3 仿真實驗

仿真實驗利用運動載體平臺定位靜止磁性目標，載體平臺搭載磁梯度張量測量系統。設磁性目標位于空間直角坐標系的原點，以地理正東向為x軸，正北向為y軸，垂直向上為z軸。仿真實驗初始條件為:磁性目標的磁矩m為(5×107，1×106，1×106)A·m2;載體平臺在t0時刻的坐標為(－200，－200，100)m，平臺采樣頻率為10 Hz，采樣間隔位移Δr為(3，4，0)m，平臺運動速度為 50 m/s;仿真實驗采用平面三角形磁梯度張量測量系統，其中磁力儀的測量精度為0.01 nT，系統基線為0.5 m。仿真實驗載體平臺的運動過程如圖2所示。

仿真流程如下:根據磁偶極子數學模型和載體平臺的運動參數，仿真采樣時刻點ti的平臺磁梯度張量測量值G(ri)(采樣時刻點ti對應的位置參數為ri);然后將3個連續采樣點的仿真測量值G(ri－1)、G(ri)和G(ri+1)以及采樣間隔位移 Δr代入定位式(18)，求出時刻點ti的位置參數為ri，從而實現基于運動平臺的磁性目標定位。

圖2 仿真實驗載體平臺運動示意圖Fig.2 The motion of vehicle platform in simulation experiment

3.1 探測定位仿真結果

圖3為初始仿真條件下各時刻點的磁性目標探測定位誤差。

圖3 初始仿真條件下探測定位誤差Fig.3 The localization error in original simulation condition

分析仿真結果可知，本文提出的運動平臺實時定位方法對磁性目標有很好的定位效果，在400 m探測范圍內，探測定位誤差小于10 m;載體平臺距離磁性目標越近，探測定位誤差越小。

3.2 磁力儀測量精度對定位誤差的影響

圖4 不同磁力儀測量精度的磁定位誤差Fig.4 The localization error of different magnetometer precision

圖4為磁梯度張量測量系統中磁力儀測量精度分別為 0.1、0.01、0.001 nT 時，該實時定位方法計算得出的仿真結果。分析仿真結果可知，磁力儀的測量精度越高，實時定位方法對遠距離磁性目標的定位誤差越小;在3～5 s的時間段內，3個磁力儀精度都有很好的定位效果。

3.3 系統基線對定位誤差的影響

圖5為磁梯度張量測量系統基線分別為0.25、0.5、1 m時實時定位算法的探測定位仿真結果。由仿真結果可知，在3～5 s的時間段內，3個系統基線值都有很好的定位效果;但對于遠距離磁性目標，系統基線越大探測定位效果越好。

圖5 不同測量系統基線定位誤差Fig.5 The localization error of different baseline intervals

4 仿真結果分析

以上仿真結果表明本文提出的磁梯度張量實時定位方法可以有效探測定位磁性目標，磁力儀精度和系統基線是影響遠距離目標探測定位效果的主要因素。分析仿真實驗結果可知，搭載磁梯度張量系統的運動平臺探測水下大型磁性目標的典型距離為400 m，在此典型探測距離條件下，系統基線為0.5 m，磁力儀精度為0.1 nT。下面根據實時定位方法的基本原理對仿真結果進行理論分析。由式(6)得:

通過微分可以得到磁梯度張量的表達式:

通過理論計算各時刻點磁梯度張量和磁場三階張量的Frobenius范數分別如圖6和圖7所示。

由運動平臺實時定位方法的原理可知，目標定位效果與ti－1和ti+1時刻點磁梯度張量的差G(ri+1)－G(ri－1)直接相關，即磁場三階張量的F范數越大該定位方法的定位效果越好。根據圖7所示，各時刻點磁場三階張量的F范數可知，在3～5 s的時間段內磁場三階張量的F范數較大，這可以解釋圖3中3～5 s的時間段內定位效果較好的仿真結果。同理磁場三階張量的F范數越大所需磁力儀的測量精度越低，因此圖7也可以解釋圖4仿真結果中3～5 s的時間段內較低磁力儀精度也有較好定位效果的現象。

圖6 各時刻點磁梯度張量的F范數Fig.6 The F norm of magnetic gradient tensor of time point

圖7 各時刻點磁場三階張量的F范數Fig.7 The F norm of magnetic third order tensor of each time point

當磁梯度張量測量系統中磁力儀的測量精度不變時，由測量系統的原理可知系統基線越小磁力儀間測量值的差越小，如果差值接近磁力儀的測量精度，磁梯度張量的測量將會有較大誤差。由圖7磁場三階張量的F范數的變化可知，當測量系統距離磁性目標較遠時磁場三階張量較小，此時應選用較大的系統基線否則將會導致較大定位誤差。以上分析可以解釋圖5仿真結果中較大系統基線對遠距離磁性目標有較好定位效果的結論。

5 結束語

本文在磁梯度張量定位原理的基礎上，通過研究磁性目標磁場梯度張量的空間導數，提出了基于磁場三階張量的目標定位算法，并在此基礎上建立了運動平臺的實時定位方法。該定位方法計算過程簡潔，不需要求解非線性方程組，可以實現磁性目標的實時定位。通過仿真實驗對該定位方法進行了驗證，結果表明該定位方法對磁性目標有很好的探測定位效果，不足之處在于對載體平臺和磁性目標的運動狀態都有要求，不適用于運動磁性目標的探測定位。在下一步的研究工作中需要在此方法的基礎上研究運動磁性目標的探測定位技術。

［1］TAREK E T，AHMED S.Position detection of unexploded ordnance from airborne magnetic anomaly data using 3-D self organized feature map［J］.International Symposium on Signal Processing and Information Technology，2005，23(1):322-327.

［2］HIROTA M，FURUSE T，EBANA K.Magnetic detection of a surface ship by an airborne LTS SQUID MAD［J］.Transactions on Applied Superconductivity，2001， 11(1):884-887.

［3］張昌達.航空磁力梯度張量測量－航空磁測技術的最新進展［J］.工程地球物理學報，2006，3(5):354-361.ZHANG Cangda.Airborne tensor magnetic gradiometry-the latest progress of airborne magnetometric technology［J］.Chinese Journal of Engineering Geophysics，2006，3(5):354-361.

［4］STOLZ R，ZAKOSARENKO V，SCHULZ M，et al.Magnetic full-tensor SQUID gradiometer system for geophysical applications［J］.Leading Edge(Tulsa，OK)，2006，25(2):178-180.

［5］SMITH D V，BRACKEN R E.Field experiments with the tensor magnetic gradiometer system for UXO surveys:a case history［J］.SEG Technical Program Expanded Abstracts，2004，23(1):806-809.

［6］GAMEY T J，DOLL W E，BEARD L P.Initial design and testing of a full-tensor airborne SQUID magnetometer for detection of unexploded ordnance［J］.SEG Technical Program Expanded Abstracts，2004，23(1):798-801.

［7］吳招才，劉天佑.磁力梯度張量測量及應用［J］.地質科技情報，2008，27(3):107-110.WU Zhaocai，LIU Tianyou.Magnetic gradient tensor:its properties and uses in geophysics［J］.Geological Science and Technology Information，2008，27(3):107-110.

［8］于振濤，呂俊偉，張本濤.基于海底磁力儀陣列的磁性目標定位方法［J］.武漢理工大學學報，2012，34(6):131-135.YU Zhentao，LYU Junwei，ZHANG Bentao.A method to localize magnetic target based on a seabed array of magnetometers［J］.Journal of Wuhan University of Technology，2012，34(6):131-135.

［9］張朝陽，肖昌漢，閻輝.磁性目標的單點磁梯度張量定位方法［J］.探測與控制學報，2009，31(4):44-48.ZHANG Chaoyang，XIAO Changhan，YAN Hui.Localization of a magnetic object based on magnetic gradient tensor at a single point［J］.Journal of Detection ＆ Control，2009，31(4):44-48.

［10］ORUC B.Location and depth estimation of point-dipole and line of dipoles using analytic signals of the magnetic gradient tensor and magnitude of vector components［J］.Journal of Applied Geophysics，2010，70(1):27-37.

［11］TAKAAKI N，SATOSHI S，SHIGERU A.A closed form formula for magnetic dipole localization by measurement of its magnetic field and spatial gradients［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2006，42(10):3291-3293.

［12］張光，張英堂，李志寧，等.載體平動條件下的磁梯度張量定位方法［J］.華中科技大學學報:自然科學版，2013，41(1):21-24.ZHANG Guang，ZHANG Yingtang，LI Zhining，et al.Localizing method of magnetic field gradient tensor under carriers moving parallelly［J］.Journal of Huazhong University of Science＆ Technology:Natural Science Edition，2013，41(1):21-24.

［13］隗燕琳，肖昌漢，陳敬超，等.基于艦船矢量磁場的定位方法［J］.上海交通大學學報，2009，43(8):1216-1221.WEI Yanlin，XIAO Changhan，CHEN Jingchao，et al.A new magnetic localization method based on vessel’s vectorial magnetic field［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University，2009，43(8):1216-1221.

［14］張朝陽，肖昌漢，高俊吉，等.磁性物體磁偶極子模型適用性的試驗研究［J］.應用基礎與工程科學學報，2010，18(5):862-868.ZHANG Chaoyang，XIAO Changhan，GAO Junji，et al.Experiment research of magnetic dipole model applicability for a magnetic object［J］.Journal Basic Science and Engineering，2010，18(5):862-868.

［15］呂俊偉，于振濤，樊利恒，等.艦船磁場模型適用范圍研究［J］.海軍航空工程學院學報，2012，27(5):563-566.LU Junwei，LYU Zhentao，FAN Liheng，et al.Research on the applicability warship magnetic model［J］.Journal Naval Aeronautical and Astronautical University，2012，27(5):563-566.