基于源數估計的無約束欠定盲源分離算法

付永慶，郭慧，，蘇東林，劉焱

(1.哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江哈爾濱150001;2.北京航空航天大學電磁兼容技術研究所，北京100191)

盲源分離(blind signal separation，BSS)起源于雞尾酒問題［1］，可在源信號和傳輸信道參數均未知的情況下僅根據源信號的統計獨立性和觀測信號來恢復源信號，被廣泛應用于生物醫學［2］、地質信號處理和分析［3］、圖像處理［4］和移動通信［5］等領域。根據觀測信號和源信號的數目關系，將盲源分離問題分為正定、超定和欠定3種情況。上述情況都以信源數目的正確估計為前提實現信號的分離。目前，在信源數目估計領域中，以前兩種情況下的盲源分離為主，基于高階累積量擴展了很多成熟的算法，而欠定盲源分離(undetermined blind signal separation，UBSS)方面的研究尚少。目前欠定盲源分離中信源數目的估計大多基于稀疏混合信號的線性聚類特點，如:2001年Bofill利用勢函數的局部最大值的個數對信源數目進行估計［6］;2008年譚北海等直接利用概率統計知識，通過劃分區域并統計觀測點在不同區域的概率分布實現信源數目估計［7］;2009年張燁等提出采用拉普拉斯勢函數判斷其局部最大值達到源數估計的目的［8］。但這些方法都存在一些問題，如算法的抗噪聲性和信號的稀疏性易受異常值的影響從而造成誤判。針對上述問題，提出一種Hough加窗法，利用信號的稀疏特性，先確定經平滑后的聚類區域，減小異常值的影響，再尋找區域最大值，避免陷入局部最大，在此基礎上對混合矩陣進行估計。針對信號分離問題，提出一種無約束分離算法，采用“內點法”選擇合適的混合矩陣列向量作為初始迭代值，修正了現有算法對混合矩陣列向量的選取標準。

1 稀疏欠定盲源分離模型

通常欠定盲源分離的線性瞬時混合模型寫作:

式中:X(t)為m個觀測信號矢量，A為m×n維的混合矩陣，S(t)為n個源信號矢量，t=1，2，…，T為觀測點時刻，當m＜n時即為欠定盲源分離。

為了實現欠定情況下的盲源分離，必須對源信號提出進一步的約束條件，假設源信號是稀疏信號，即源信號在絕大多數采樣點的取值為零或接近于零，只有少數采樣點的取值遠離零［9］。假設在采樣時刻t，只有s1(t)起主導作用，則有

觀測信號可以看作:在以x1(t)…xm(t)為坐標軸的m維空間中，所有以源信號s1(t)為主導的采樣時刻確定的一條直線，其斜率取決于混合矩陣A的第一個列向量 [a11，…，am1]T。如果混合矩陣A的任意m×m的子矩陣都滿足可逆性，則每個源信號可確定一條直線。因此，源信號的數目估計就轉化為對觀測空間中直線的條數估計。

實際應用中，很多信號具有稀疏特性，或者可以通過適當變換(如短時傅里葉變換，STFT)［10］、Gabor變換［11］、小波變換［12］等)使得信號在變換域中滿足稀疏特性。

2 Hough加窗法

2.1 Hough 變換

Hough變換原用于圖像的匹配，將原圖中給定形狀的所有點都集中到變換空間中的某些位置，形成峰值點。基于該思想，把觀測信號空間中直線的檢測問題轉化為尋找變換空間中峰值點的問題。

觀測數據可看作m維空間中經過零點的一條直線［13］，據此構造轉換關系，將觀測信號空間中的直線轉換成變換空間中的角度變換量［14］:

式中:k=1，…，π/h，表示高維直方圖的分區數目，h是Hough變換的量化步長，k越大，即h越小，變換量的分類精度越高;在變換量的每一個分類中，i=1，…，m－1，包含了變換量的所有維數，[·]表示比·小的最大整數。則落入高維直方圖某一區域的變換量數目為:

2.2 加窗法

得到變換量的直方圖后，若直接檢測峰值點容易陷入局部最大值。為此對直方圖做加窗處理。由于m維的觀測信號經Hough變換后變為m－1維變換量，故對其加m－1維的超方體窗。加窗的目的是平滑直方圖中的異常值，得到聚類區域。加窗后重新計算變換量的分類統計數為

式中:j=0，…，[π/hd]－[L/d]+1表示重新計算后的變換量分類數，L表示超方體窗口的邊長，d表示超方體窗口沿觀測空間每個坐標軸方向的移動步長表示權重，由落入直方圖某一區域中的變換量數占變換量總數的比率獲得。

對新的直方圖搜索峰值即可得到源數的估計。峰值對應的角度變換估計量與混合矩陣元素有式(7)的關系，由此得到混合矩陣的估計值:

式中:ami表示混合矩陣第m行i列的元素。

3 無約束分離算法

3.1 無約束問題

文獻［2］中分離混合信號有如下的約束條件:

由于式(1)可寫為

式中:Am稱作混合矩陣Am的滿秩因子，Amn－m稱作混合矩陣Am的余式因子。又有

式中:sign(·)表示取·的符號。因此，可以將式(8)帶約束的優化問題轉化為上述無約束優化問題，要滿足，令J(Sn－m)對Sn－m求導，即

3.2 初始迭代值選取

初始迭代值的選取直接影響算法的迭代次數和收斂速度，因此，需要合理選擇初始值。現有算法通過選擇觀測點與混合矩陣列向量夾角最小的前m列作為分離矩陣，該方法并不適用于任何情況。

圖1 二維矢量分解示意圖Fig.1 Schematic diagram of 2D vector decomposition

如圖1所示，以兩個混合信號為例，在單位化對稱化后的散點圖中，混合信號x與列向量a1、a2的夾角最小，但是其分解矢量的長度和遠大于混合信號x在列向量a2、a3上的分解矢量。這是因為當兩個列向量分布于混合信號的同一側時，有一個分解矢量必在其中一列向量的反方向上，此時，分解矢量與觀測信號的夾角并不是最小。

根據散點圖分布采用“內點法”選取初始迭代值。首先，令混合矩陣單位化和對稱化，且使混合矩陣第一行和混合信號第一行數據符號為正。然后，去處混合矩陣和混合信號第一行數據后繪制散點圖，以混合信號為原點，混合矩陣列向量分布在其四周。從n個點中選取m個點，這m個點圍成的多邊形應能包含混合信號點。從滿足要求的組合中選擇與混合信號夾角和最小的作為滿秩因子Am，否則按照最小夾角法選取Am，其余列向量作為余式因子An－m，Sm則由式(10)得到，令Sn－m=0。

源信號越稀疏，J'(Sn－m)值越小，在迭代過程中，分離信號逐漸逼近源信號S，稀疏性增強，J'(Sn－m)逐漸減小，當J'(S(k+1)n－m≥J'()時迭代終止，第k次迭代計算得到的即為分離信號。

4 仿真實驗

4.1 算法性能評價標準

4.1.1 泛化交擾誤差

采用泛化交擾誤差(generalized crosstalking error，GCE)評價混合矩陣的估計精度。定義如下:

式中:Π表示所有n×n維可逆矩陣組成的集合，表示與一個尺度矩陣和置換矩陣的乘積，以消除的幅度不確定性和排序不確定性。當且僅當和A完全等價時，Err(A，)=0。

4.1.2 信干比

信號分離后第i個源信號si和分離信號的信干比(signal to interference radio，SIR)定義為:

盲源分離的幅度具有不確定性，在計算信干比前需先確定源信號si和分離信號的幅度因子λi:

通過式(15)使得si和的幅度盡量一致。在該度量下，信干比SIR越大，說明分離信號越接近源信號。

4.1.3 互相關系數

互相關系數(cross correlation coefficient，CCC)描述兩個信號的相似性，定義為

式中:sj為源信號，為還原信號。在該度量下，ξij=1和0分別表示與sj完全相似和不相似。

在上述3個標準中，泛化交擾誤差和互相關系數都是與特定值做比較(GCE值與0比較，CCC值與1比較)，可以體現單獨算法的有效性，但因其計算值很小，在多算法性能比較時不利于突出算法的差異，因此采用信干比來衡量不同算法的性能。

4.2 實驗及結果分析

4.2.1 實驗一:驗證Hough加窗法的性能

為了驗證信號稀疏度對算法的影響，需構建稀疏度可度量的稀疏信號。滿足廣義Gaussian分布的信號，其概率密度函數為:

據此構建信噪比為40 dB，α＜1.5的稀疏度不同的廣義Gaussian分布的隨機信號和α=1，信噪比不同的信號，采樣值T=5 000，隨機選取2×6的混合矩陣得到混合信號，分別進行100次蒙特卡洛運算，分析算法的正確率，如圖2所示。

圖2 源數估計的正確性Fig.2 Accuracy of the source number estimation

Hough加窗法在稀疏性度量值為1.2及以上時，算法的正確率較低，在稀疏性度量值小于1.1和信噪比大于2 dB時算法正確率分別可達81%和85%以上，在稀疏性度量值小于0.8和信噪比大于15 dB時算法正確率達到100%。可見算法對信號的稀疏敏感性較低，且具有較好的抗噪聲性能，即使在低信噪比下也能以較高的正確率估計出信源數目。

源數估計的高正確率保證了算法的穩定性。選取源數估計正確的情況估計混合矩陣，計算泛化交擾誤差取平均值，并與勢函數法、K均值法進行比較，得到不同算法下噪聲和稀疏度對混合矩陣估計性能的影響圖，如圖3和圖4所示。

從兩幅圖中看出，無論是在低信噪比下還是低稀疏度下，Hough加窗法得到的混合矩陣的泛化交擾誤差都很小，趨近于0，尤其是在稀疏度為1.2以下和信噪比為8 dB以上時，混合矩陣估計精度更高，性能明顯優于其他算法。勢函數法直接對累計量進行峰值搜索，無法平滑奇異值對峰值檢測的影響，因此性能不如Hough加窗法，K均值法由于受初始點選取的影響較大，故估計性能最差。

圖3 噪聲對混合矩陣估計精度的影響Fig.3 The influence of noiseon the accuracy of the estimation of mixing matrix

圖4 稀疏度對混合矩陣估計精度的影響Fig.4 The influence of sparse on the accuracy of the estimation of mixing matrix

4.2.2 實驗二:驗證無約束分離算法的性能

在實驗一得到的混合信號基礎上，假設混合矩陣已知，信噪比為40 dB，α=1的情況下，通過互相關系數和信干比兩個指標來評價算法的性能，如圖5所示，并從分離信號的信干比、時間頻度、復雜度和運行時間等方面，將本文算法與最短路徑法、最小l1范數法進行比較，結果如表1所示。

圖5中信噪比為40 dB時，互相關系數平均值達到0.991 8，對應的信干比平均值為169.65。整體來說，在信噪比較低的情況下，互相關系數可達到0.74以上，在信噪比為15 dB以上時，互相關系數達到0.9以上。在2～40 dB的范圍內，信干比的數值波動在37 dB左右，約占最佳信干比值的21.9%。表明無約束分離算法自身具有分離準確性較高，抗噪聲性能較好的特點。

表1給出了無約束分離算法與其他2個有約束算法的性能比較結果。其中時間頻度以m個混合信號，n個源信號，采樣值為T的情況進行計算，k表示無約束分離算法的迭代次數。3種分離算法得到的源信號信干比值均一樣，說明了本文算法的正確性。從時間頻度上看，最短路徑法值最小，最小l1范數法最大。本文算法與最小l1范數法相差一個系數，本文算法的k取值一般為1～3，最小l1范數法在本實驗中取值為15，運行時間也證明了上述分析。在運算時間上，本文算法不及勢函數法，但適用范圍要大于勢函數法，因為勢函數法只適用于兩個混合信號的情況。因此，綜合運行時間和適用性可以得出:無約束分離算法具有較好的性能。

表1 算法比較結果(α=1，SNR=40 dB)Table 1 The comparison results of different algorithms(α =1，SNR=40 dB)

圖5 混合分離的分離性能Fig.5 Performance of signal separation

為了驗證“內點法”修正了最小夾角法對混合矩陣列向量的選取標準，將無約束分離算法與基于最小夾角法的分離算法進行比較，結果如圖6所示。

圖6 內點法與最小夾角法的性能比較Fig.6 Performance comparison of signal separation between interiorpoint method and minimum angle method

在混合矩陣選取的過程中，不同的混合信號出現列向量散點包含混合信號散點的情況是不確定的，因此，針對不同的混合信號而言，內點法較最小夾角法的性能優勢表現的也不盡相同。在圖6中，內點法的優勢較最小夾角法比較突出，且在信噪比較高時，這種優勢更明顯。

4 結論

1)針對現有混合矩陣估計算法易受噪聲干擾，對信號稀疏性要求較高等問題，提出一種Hough加窗算法，利用稀疏信號的特性，用加窗的方法平滑因噪聲或稀疏性差造成的異常值，對得到的聚類區域分別尋找最大值，達到全局最大值搜索的目的，峰值的個數即為信源的數目。

2)針對現有分離算法帶約束的優化問題，提出一種無約束的分離方法，并采用“內點法”來選擇合適的初始迭代值，修正了現有算法對混合矩陣列向量的選取標準。

仿真結果不但驗證了算法的有效性，還表明了算法具有較好的抗噪聲性、較低的稀疏敏感性。若信號不滿足稀疏特性，可對其采用適當的變換使其在變換域中具有稀疏性，該算法在變換域中仍適用。

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