基于MPSO方法的邊坡可靠度計算研究

張玉嬌，朱曉麗，賀子光，黨亞倩，陳 磊

（1.濟源職業技術學院建筑工程系，河南濟源454000;2.長安大學地質工程與測繪學院，西安710054；3.西部地質資源與地質工程教育部重點實驗室，西安710054）

0 引言

由于邊坡工程的不確定性特點，傳統的穩定性分析方法不能很好地解決實際問題，而可靠性分析方法可以更為準確地計算工程問題。經過國內外眾多學者的大量研究，可靠性分析方法取得了很大的進展[1～4]。目前，計算邊坡可靠度的常用方法有：蒙特卡羅法（MCS）、一次二階矩法(FORM)、響應面法（RSM）、優化算法（Optimization Algorithm）和人工神經網絡法（ANN）等。

邊坡工程可靠性分析方法雖然取得了一定的進展，但仍然有諸多問題亟待解決：MCS法對于小概率事件，需要進行大量的數值計算，效率較低；FORM法雖然算法簡單，但計算工作量大。優化算法是一種新的求解可靠度指標的數值方法，即求解可靠指標屬于求解極限狀態曲面到原點最短距離的優化問題。應該說用優化方法求解可靠指標是一種有效的途徑，但現有的大部分優化方法在求解功能函數呈高度非線性問題時（尤其是凸優化問題），有時會陷入局部最小值，或者是計算結果不收斂，效果往往不理想[5～6]。

PSO方法是模擬鳥群覓食的種群優化方法，其算法簡單，收斂速度快，已得到眾多研究者的肯定。張利彪、周春光利用PSO方法求解多目標優化問題，實現了對多目標優化問題的非劣最優解集的搜索[7]；劉大鵬、周建中將混沌算法和PSO算法結合，并將其應用到了土釘支護優化設計中[8]。

本文提出應用MPSO方法計算邊坡可靠度。該方法借鑒遺傳算法中的雜交概念，將標準PSO方法進行改進，計算可靠度指標及驗算點。該方法可以解決功能函數呈高度非線性的可靠度計算問題，并具有較高的精度和收斂速度。

1 粒子群算法

1.1 標準粒子群算法原理

粒子群算法是一種進化計算技術，由Eberhart和kennedy博士發明，源于對鳥群捕食的行為研究。PSO算法同遺傳算法類似，是一種基于迭代的優化工具。系統初始化為一組隨機解，通過迭代搜尋最優值。在PSO算法中，每個優化問題的解都是搜索空間中的一只鳥，被抽象為沒有質量和體積的微粒，并將其延伸到N維空間。PSO算法首先初始化一群粒子（隨機解），然后粒子就追隨當前的最優粒子在解空間中搜索，即通過迭代找到最優解。假設D維空間中的第i個粒子的位置和速度分別為和，在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個最優解來更新自己，第一個就是粒子本身所找到的最優解，即個體極值pbest；另一個是整個種群目前找到的最優解，即全局最優解gbest，在找到這兩個最優值時，粒子根據如下的公式來更新自己的速度和新的位置。

其中，w為慣性權重，c1和c2為正的學習因子，r1和r2為0到1之間均勻分布的隨機數。

1.2 混合粒子群算法

1.2.1 算法原理

借鑒遺傳算法中的雜交概念，在每次迭代中，根據雜交概率選取指定數量的粒子放入雜交池內，池中粒子隨機兩兩雜交，產生同樣數目的子代粒子（child）,并用子代粒子替換親代粒子（par?ent）。子代位置由父代位置進行算術交叉得到：

或

其中，p是0到1之間的隨機數。

子代的速度由下式計算：

或

1.2.2 算法步驟

基于雜交的粒子群算法的基本步驟如下：

1）隨機初始化種群中各微粒的位置和速度；

2）評價每個微粒的適應度，將當前各微粒的位置和適應值存儲在各微粒的pbest中，將所有pbest中的速度和適應值存儲在gbest中；

3）更新每個微粒的速度和位置；

4）對每個微粒，將其適應值與其經歷過的最好位置進行比較，如果較好，將其作為當前最好的位置和速度；

5）比較當前所有的pbest和gbest的值，更新gbest；

6）根據雜交概率選取指定數量的粒子放入雜交池內，池中的粒子隨機兩兩雜交產生同樣數目的子代粒子，子代的位置和速度計算公式如下：

保持pbest和gbest不變；

7）若滿足停止條件，搜索停止，輸出結果，否則返回3）繼續搜索。

1.2.3 可靠度指標的幾何含義

從一次二階矩方法的理論可知，對于獨立正態分布隨機變量，當極限狀態方程為線性時，可靠度指標在標準正態坐標系中等于原點到極限狀態平面(或直線)的最短距離[9]。Shinozuka已經證明：在失效面上，如果某點到原點的距離是所有點中最近的，則該點就是失效點，或者說是驗算點。在可靠度分析中，該距離即為可靠度指標β。因此，設具有n個正態變量x1,x2,???xn的極限狀態方程：

或

將上述中的變量x1,x2,…xn標準化得

式中，mxi和σxi是變量xi的均值和方差。因此可靠度計算模型為

如果隨機變量服從一般分布，則可以進行高斯變換，將一般分布變換成正態分布。高斯變換如下：

1.2.4 MPSO方法在可靠度計算中的應用

由可靠度指標的幾何含義可知，在標準正態坐標系中，可靠度指標是原點到極限狀態曲面的最短距離，而驗算點就是極限狀態曲面上到原點距離最短的點。利用混合粒子群方法的全局搜索能力找出其到原點最短距離的點以及相應的最短距離，即可靠度指標和設計驗算點，具體步驟如下：

1）確定混合粒子群方法參數。粒子數目，學習因子1，學習因子2，慣性權重w，雜交概率Pc，雜交池的大小比例Sp，最大迭代次數。

2）隨機產生初始種群。根據各隨機變量的具體分布，利用Matlab中隨機數產生器，隨機產生一組隨機數作為該變量的初始種群，通常設置隨機數在[-3σ,3σ]區間。

3）約束條件處理。由于可靠度的模型為有約束的規劃模型,而混合粒子群方法一般對無約束的優化模型比較方便。因此需要對約束條件進行處理，這里采用罰函數法將約束求解問題轉化為無約束求解問題。

其中：f(x1,x2,…xn)為極限狀態函數，λ為懲罰因子。

4）計算適應值。計算每個微粒的適應值，將當前各微粒的位置和適應值存儲在各微粒的pbest中，將所有pbest中的速度和適應值存儲在gbest中；

5）更新每個微粒的速度和位置。

6）對每個微粒，將其適應值與其經歷過的最好位置進行比較，如果較好，將其作為當前最好的位置和速度.

7）比較當前所有的pbest和gbest的值，更新gbest。

8）根據雜交概率選取指定數量的粒子放入雜交池內，池中的粒子隨機兩兩雜交產生同樣數目的子代粒子。

9）若滿足停止條件，搜索停止，輸出結果，否則返回4）繼續搜索。

2 工程算例

2.1 算例：采用MPSO算法計算可靠度

已知一巖質邊坡[10]，其穩定性主要受巖石的c，?值影響，考慮地震和裂縫中水壓對邊坡的作用。剖面圖見圖1，由極限平衡條件,可得潛在滑動面上的安全系數,安全系數等于總抗滑力和總滑動力之比，采用MPSO算法計算此邊坡的可靠度指標。α為地震加速度與重力加速度的比值。zw為張拉裂縫中水的深度，iw=zw/z，b為張拉裂縫至坡面的距離，隨機變量為 c,?,b,iw,α，巖石重度γ=2.6KN/m3，參數統計見表1，計算結果見表2，優化過程見圖2。

其中：

其他參數統計見表1。

文獻[10]中的計算結果為1.557，MPSO和標準PSO方法的計算結果與其基本一致，對應的失效概率為5.97，蒙特卡洛計算10萬的失效概率為6.01。這表明MPSO算法的準確性，可以作為可靠度計算的一種有效方法；從圖2可以看出，MPSO方法較標準PSO方法的收斂速度快，且計算精度比標準PSO方法高。

表1 隨機變量及其統計參數

表2 邊坡的計算結果

2.2 控制參數對可靠度指標的影響

MPSO算法控制參數的不同選取，直接對算法的性能產生較大影響，控制參數主要包括雜交率Pc和雜交池的大小比例Sp以及種群規模的大小。下面討論各控制參數對可靠度指標的影響規律。由于算法具有一定的隨機性，為了消除隨機性導致的計算結果誤差，在同樣的參數情況下，程序均運行50次，以平均值作為衡量依據。

2.2.1 種群規模對可靠度指標的影響

圖3給出了工程算例在不同種群規模時的可靠度指標，其中慣性權重w=0.7，雜交率Pc=0.7，雜交池的大小比例Sp=0.2，搜索空間為可靠度指標的收斂情況。

從圖3可以看出，隨著種群規模的增大，可靠度指標越來越小。當種群規模大于40時，不同種群規模所對應的可靠度值之間的差別很小，這表明：當種群規模達到一定數量時，種群規模對可靠度指標的影響越來越小。由于種群規模越大，進化所需要的時間越長，所以綜合精度和運行時間兩種情況考慮，種群規模一般取為30～50。當變量較多時，可以適當地增加種群規模。

2.2.2 雜交率對可靠度指標的影響

圖4給出了算例1在不同雜交率時，可靠度指標的收斂情況。其中種群規模為40，慣性權重w=0.7,雜交池的大小比例Sp=0.2，搜索空間為[-3σ,3σ] 。

從圖4可以看出，雜交率Pc逐漸增大時，可靠度指標有逐漸變小的趨勢，當Pc=0.7時，可靠度指標最小，當Pc大于0.7時，可靠度指標又逐漸增大。

2.3.3 雜交池比例大小Sp對可靠度指標的影響

圖5給出了算例1在不同種群規模時的可靠度指標，其中種群規模為40，慣性權重w=0.7，雜交率Pc=0.7，搜索空間為[-3σ,3σ] 。

由圖5可以看出:雜交池的比例過大和過小，所得的可靠度指標均不是最優。一般情況下，雜交池比例的大小取0.2～0.3，本文中雜交池比例的大小取為0.2。

以上各控制參數對可靠度指標的影響，不僅在該例子中進行了分析，對更多變量情況也進行了同樣的分析，其結果與以上分析結果基本相同，只是隨著隨機變量的增加，需要增加進化代數。

3 結論

1）借鑒遺傳算法中的雜交概念，將其引入PSO算法，在每次迭代中，根據雜交概率選取指定數量的粒子放入雜交池內進行兩兩雜交，該方法改善了PSO方法的全局搜索能力，提高了算法的收斂速度和計算精度。

2）利用MPSO的尋優能力，計算邊坡的可靠度和驗算點，為邊坡可靠性分析提供了一種新方法。

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