濕蒸汽非平衡凝結流動的熱力學特性

韓中合，韓旭，李鵬

（華北電力大學電站設備狀態監測與控制教育部重點實驗室，河北 保定 071003）

引言

跨聲速非平衡凝結流動廣泛存在于航空、化工、動力、制冷等工程領域，在動力推進、氣液分離、旋轉機械節能等方面有著較高的應用價值。核電汽輪機全部級都處于濕蒸汽區，末級出口濕度可達13%，葉片在長期水蝕作用下振動特性改變，出現疏松的蜂窩狀組織和應力集中現象[1-3]。這些問題推動了學者們對跨聲速非平衡凝結流動機理和相變理論的深入研究。

過飽和蒸汽在通過彎曲通道時不斷膨脹，表現出強烈的多維效應和邊界效應，同時水滴成核過程中釋放出的凝結潛熱對跨聲速流動起到加熱作用。這些特點導致非平衡凝結流動與理想氣體等熵流動有很大區別，特別是出現了類似激波的凝結沖波[4-5]。凝結沖波與邊界層、激波、尾跡等相互耦合，從而引發了學者們的研究興趣。由于非平衡凝結相變過程十分復雜，傳熱傳質在微米級水平發生。目前，其描述和計算都是基于半經驗公式，很少考慮兩相間傳熱溫差以及耦合問題。

本文在濕蒸汽凝結理論和傳熱傳質機理的基礎上，對經典成核率進行修正，以提高計算精度；引入了描述水滴生長速率的熱質平衡耦合模型，揭示了水蒸氣非平衡凝結過程產生的激波現象。討論了入口壓力、過冷度對凝結特性的影響。分析了跨聲速流動凝結特性隨過冷度的變化規律，得出進口過冷度對凝結位置、激波形態、熱力學參數的影響規律。

1 凝結流動數值模型

1.1 輸運方程

考慮到水蒸氣快速膨脹會出現非平衡凝結相變，大量的小水滴彌散在氣相中，其過冷度一般可達30～40 K。由于相變出現，水滴和蒸汽間存在強烈的傳熱傳質過程?；跉庖簝上嗟馁|量、動量、能量守恒以及液相質量分數的輸運方程，建立了凝結流動數值模型。Laval噴管穩定流動實驗表明，數值計算結果對邊界條件相當敏感，在汽輪機非平衡流動中也存在類似現象[6-8]。

水滴半徑是凝結流動的重要參數，多數流動模型計算時一般使用平均半徑近似求解。Hill[9]通過水滴尺寸分布模型，獲得了高精度的水滴半徑分布。本文水滴尺寸分布函數由零階、一階、二階矩函數組成。3個函數分別為

平均水滴半徑為

整個系統的輸運方程為

其中

若系統是封閉的，根據理想氣體假設

如果液相消失(即x=Q0=Q1=Q2=0)，那么系統將變為單向流動的二維的歐拉方程。

1.2 表面張力修正

單位體積中的經典成核率為

式中，θ3出現在成核率計算式的指數項，其微小變化足以對成核率產生很大影響。圖1給出了蒸汽溫度與成核率的關系。由圖1可知，θ相同時，成核率隨溫度升高而增加；不同溫度下，成核率曲線變化趨勢基本相同；但在大張力區域，成核率曲線的斜率越大，此時的計算精度越不易保證。文獻中表面張力修正一般采用以下2種方法[10]。

（1）Tolman模型考慮到r對σ的影響，得出修正模型

（2）Kashchiev模型考慮到等溫凝結、等壓凝結等情況，將Gibbs理論進行整理，在理想氣體狀態下，推導出修正模型

由于Kashchiev模型是以理想氣體為條件推導的，而兩相凝結流動十分復雜，與理想氣體參數有很大不同，若以此修正存在一定困難。本文將采用Tolman模型對張力進行修正。

圖1 成核率與表面張力的關系 Fig.1 Relationship between surface tension and nucleation rate

1.3 熱質平衡耦合模型

按照氣體動力學理論，水分子對凝結核的撞擊頻率與其平均自由程以及水滴半徑有關。一般用量綱1參數Knudsen數（Kn）衡量水分子與凝結核的碰撞情況，Kn越大，凝結核相對于周圍水分子的分布情況越小[11-13]。Kn是一個控制質量、能量流量的重要參數，根據其取值不同，可將水滴與周圍的環境組合分為3個區域[14]。

Gyarmathy等[7]基于Fick擴散率和Fourier導熱率計算了Kn << 1和Kn>>1兩種極限情況下的水滴生長率。Young[15-16]基于Gyarmathy模型，根據外層與中間層的通量匹配，討論了不同Kn下的水滴生長模型，并在10～30 kPa下進行修正，得出β為影響中間層水滴生長速率的修正因子。Peters等[17]對比了Gyarmathy模型和Young模型，并指出Gyarmathy模型較Young模型有更好的效果。Gyarmathy水滴生長率計算式為

Young水滴生長模型為

根據Maxwell模型，水滴表面的質量交換可表示為

根據式(10)，得出水滴和蒸汽間的傳熱表達式

由于一次水滴的平均直徑基本在1 μm以下，水滴內能變化遠小于凝結換熱量，因此式(11)右端第2項可以忽略。熱質平衡耦合模型為

α可由量綱1傳熱系數Nusselt數(Nu)確定

由式（10）和式（12）聯立，得出熱質平衡耦合模型水滴生長率計算式為

熱質平衡耦合模型同時考慮了水滴生長中的傳熱和傳質過程，可以求解整個Kn范圍內的水滴凝結生長過程。本模型中的水滴溫度由傳質、傳熱方程耦合求解得出，具有較高的計算精度。

1.4 氣體狀態方程

凝結流動一般出現在飽和線以下較低溫度和壓力的區域，此處水蒸氣熱力學參數與理想氣體有很大差異。本文計算時采用Young提出的維里型氣體狀態方程

式中，B、C、D為二至四階維里系數。對于工程計算，二階維里方程即可滿足計算精度要求。二階維里系數B表達式

式中，τ=1500/T，a=10000.0，a1=0.0015，a2= -0.000942，a3= -0.0004882。

當前，研究濕蒸汽跨聲速凝結流動的高分辨率差分格式主要有TVD、NND、失通量分裂格式等[18-19]。文獻[20]給出了兩相流動的控制矩陣，并推導了特征值和特征向量，運用TVD格式、時間推進法進行求解。本文采用二階TVD格式對兩相流控制方程進行離散，具有較好的激波捕獲效果。

2 非平衡凝結流動的熱力學特性

2.1 模型驗證

為了驗證本文數值模型的可靠性，采用Tolman模型對成核率進行修正，水滴生長率計算分別采用Gyarmathy模型、Young模型和本文模型，對Laval噴管中的蒸汽非平衡凝結流動進行仿真，噴管型線見圖2。噴管入口直徑為8 cm，出口直徑為4.746 cm，喉部位于x=0處，噴管總長度23 cm。

圖2 Laval噴管幾何結構數據 Fig.2 Geometry data of Laval nozzle

流動條件：進口總壓P0t=87 kPa，總溫T0t= 390.15 K，出口為超聲速流動，噴管壓力分布實驗數據取自文獻[7]，圖3給出了噴管軸線處壓比分布。凝結沖波位置、波形與實驗值吻合度較好，說明本文建立的數值模型是可靠的。與Gyarmathy模型和Young模型相比，本文模型僅在凝結沖波位置有所差異。Young模型的壓力突躍更加明顯，而本文模型的壓力突躍介于Gyarmathy模型和Young模型之間，因此本文模型所獲得的結果精度基本與其他模型相近。為了更好地揭示凝結沖波對兩相流的影響，圖3也給出了等熵模型的計算結果。

圖4給出了此工況主要凝結流動參數的計算結果，由圖可以看出氣液兩相參數隨蒸汽膨脹的變化規律。過熱蒸汽在Laval噴管中膨脹時，過冷度ΔT不斷提高。在噴管上游x=-1.49 cm處過冷度為0，蒸汽處于飽和狀態；在噴管下游x=1.72 cm處過冷度達到最大值36.25 K，蒸汽處于過飽和狀態，凝結突然出現。成核率在短時間內由0上升到2.56×1022，水滴數目也急劇增加到1017數量級。由于凝結釋放的大量潛熱引起了凝結沖波，在較高的過冷度下水分子開始在臨界水滴表面凝結，水滴開始生長。

圖3 噴管軸線壓比與實驗值的比較 Fig.3 Pressure ratio along nozzle axis compared with experimental value

圖4 主要凝結參數沿噴管軸線分布 Fig.4 Main condensing parameter distribution along nozzle axis

2.2 凝結流動變壓特性

為了得出影響非平衡凝結特性和凝結沖波強度的熱力學參數，對Laval噴管進行變工況計算。本文共設計了7種工況，見表1。

表1 噴管進出口參數表 Table 1 Boundary conditions for import and export of nozzle

工況1～工況3用于研究凝結沖波的變壓特性；工況3～工況7用于研究過冷度對凝結沖波的影響。變壓特性計算中取過冷度ΔT= -23 K，進口壓力Pot分別為80、100、120 kPa，進口溫度T0t分別為389.7、395.76、400.93 K。圖5給出了不同進口壓力下，噴管軸線處過冷度、成核率、水滴數、Mach數分布。

對比圖5(a)、(b)可知，相同過冷度下，進口壓力增加，凝結位置逐漸向上游移動，但移動幅度很小。3種工況的過冷度峰值相差不大，分別為36.97、35.98、35.14 K。隨著進口壓力的增加，凝結速度加快，成核率降低，由此導致水滴數目減少，但水滴半徑增加。圖5(d)給出了不同進口壓力的Mach數分布，3種工況的Mach數曲線基本重合，只是在凝結沖波附近有較大差別，進口壓力越大，凝結沖波的強度也越大。

2.3 進口過冷度特性

在2.2節的基礎上，對Laval噴管進一步進行計算，討論相同進口壓力、不同過冷度下的濕蒸汽凝結特征。取進口壓力Pot為120 kPa，進口過冷度ΔT分別為-3、-8、-13、-18、-23 K，研究過冷度升高對蒸汽非平衡凝結特性的影響。

圖6給出了工況3～工況7噴管軸線處的壓比、成核率、水滴數、濕度、過冷度、Mach數分布。由圖6(a)可知，在凝結沖波出現之前，蒸汽壓力不斷降低，各工況壓比曲線重合；當越過喉部后，蒸汽過冷度達到Wilson點并出現大量凝結核，大部分凝結潛熱是在成核區釋放的，同時伴隨產生凝結沖波，壓力在此處驟然升高。比較可知，入口過冷度越高，凝結沖波出現的位置越早。但是在較高過冷度下很難準確預測到凝結沖波出現的位置，此狀態下的沖波結構是不穩定的。

對比圖6(b)、(c)可知，進口過冷度越高，成核出現的位置越早，成核率也相應較小。過冷度開始下降后，成核現象迅速消失。

圖5 不同進口壓力的凝結流動參數 Fig.5 Condensing flow parameters of different inlet pressure

圖6 不同進口過冷度的凝結流動參數 Fig.6 Condensing flow parameters of different inlet subcooled temperature

圖6(d)給出了水滴數沿噴管中心軸線的分布情況。研究表明：進口過冷度是影響成核率的重要熱力學參數，不同工況下的水滴數目差異較大。隨著凝結成核的發生，各工況過冷度在噴管下游迅速降到了2 K左右，并不再出現新的凝結核，水滴數目基本保持不變。

圖6(e)給出了各工況濕度分布，Laval噴管出口濕度隨著進口過冷度的升高而逐漸升高。分析可知，在液相質量分數<0.005時，成核過程就基本完成了。由于凝結潛熱使蒸汽處于低過冷狀態，當水滴數量趨于穩定之后，水滴不斷生長，因此濕度仍具有緩慢的上升趨勢。

圖6(f)給出了Mach數分布，在較高的進口過冷度下，蒸汽達到飽和狀態后會迅速凝結成核。隨著進口過冷度的降低，蒸汽需要在Laval噴管中加速一段距離，達到較高的過冷度后，才會出現成核現象。凝結沖波出現后，濕蒸汽沿Laval噴管繼續高速流速，其流動規律與等熵流動相似。

3 結論

本文采用Tolman模型對經典成核率進行修正，引入熱質平衡耦合模型對水滴生長速率進行計算，分析了非平衡凝結過程激波的分布規律。討論了入口壓力、過冷度對凝結特性的影響，總結了熱力學參數對凝結位置、激波形態、流動參數的影響規律。并得出以下結論。

（1）相同進口過冷度下，隨著進口壓力增加，凝結位置逐漸向上游移動，成核率降低，水滴數目減少，但水滴半徑增加。

（2）當總壓為120 kPa時，隨著過冷度由-3 K下降到-23 K，凝結位置逐漸向噴管下游移動，成核率也增加了1個數量級。

（3）進口壓力相同時，Laval噴管出口濕度隨著進口過冷度的升高而逐漸升高，當水滴數量趨于穩定之后，濕度仍具有緩慢的上升趨勢。

符號說明

a0——單個氣體分子的表面積，m2

cp——氣體比熱容，J·kg-1·K-1

e ——單位體積的能量密度，kJ·m-3

hfg——汽化潛熱，kJ·kg-1

J ——單位體積成核率, (m3·s)-1

Kn ——Knudsen數

M ——水滴質量，kg

m ——單分子的質量，kg

N ——單位質量蒸汽水滴數

Nu ——Nusselt數

Prg——Prandtl數

P ——蒸汽實際壓力，Pa

q ——凝結系數

R ——理想氣體常數，J·(mol·K)-1

rc——水滴的半徑，m

S ——過飽和度

Tr——水滴溫度，K

ΔT ——過冷度，K

u ——軸向速度，m·s-1

v——徑向速度，m·s-1

α ——水滴與蒸汽傳熱系數，W·(m2·K)-1

γ ——蒸汽比熱容比

δ ——Tolman長度，m

ζ ——傳質系數，m·s-1

θ ——量綱1表面張力

λg——蒸汽的熱導率，W·(m·K)-1

μ ——水滴生長半經驗修正系數

ρ ——密度，kg·m-3

σ0——液體表面張力，N·m-1

下角標

c——臨界狀態

g——氣相

i——第i個水滴

l——液相

s——飽和狀態

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